起主导作用的特殊情形的注释和实践

杨燕

摘 要：波利亚在其名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻，且在解题中屡试不爽

关键词：波利亚；数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）05-274-01

波利亚在其名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中对特殊与一般的关系作了深入的阐述，其中以“起主导作用的特殊情形”给笔者留下的印象最为深刻，且在解题中屡试不爽，现将这一思想介绍给大家，并提供两个实例，与诸位共享。

引文——波利亚对“起主导作用的特殊情形”的注释

多边形面积为 ，其所在平面与另一个平面的交角是 ，求这多边形在另一平面上正投影的面积。

由于没有指定多边形的形状，但是有无穷的各种各样可能的形状，应该首先讨论哪种形状呢？

有一种形状讨论起来特别方便：底边平行于两个平面的交线的矩形，设这种矩形的底是 ，高是 ，其面积为 ，其投影长度分别是 ，投影面积是 ，故若多边形面积是 ，则投影面积是 。

底边平行于 的矩形不仅是特别容易处理的特殊情形，而且又是一种有主导作用的特殊情形，主导特例的解包含了一般问题的解。故由此可以推广到直角边平行于 的直角三角形（用对角线平分上述矩形）；再推广到一种平行于 的三角形（由上述两个直角三角形组成）；最后推广到一般多边形（可以分解为前述许多三角形），甚至我们还可以推广到曲边形（看作多边形的极限）。

二.例证——对“起主导作用的特殊情形”的实践

参考文献：

[1] 波利亚.数学与猜想--数学中的归纳和类比.北京.科学出版社.2001.