多管齐下求解三角函数高考题

黎书柏

三角函数是每年高考必考的内容之一，考查形式基本上是一道或两道小题、一道大题，考题多为容易题、基础题，难度不大；考查内容主要是考生对概念的理解、三角变换以及三角函数的图像与性质（包括对定义的理解和运用、象限角及符号、诱导公式、同角三角函数关系式的化简与求值等）.灵活运用上述概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数的图像考查性质等，是近些年高考考查的热点.下面仅就2013年高考湖南理科卷第17题化简函数解析式谈三种解法，供同学们参考.

题目 已知函数f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根据题意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，则有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小结 解法1的第一步主要是运用两角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β进行化简.第一步的化简是解决本题的关键.

（解法2）令θ =x- ，则f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法2主要是运用x- =（x- ）- ，然后运用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）进行化简.

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法3主要找出了x- 与x+ 的内在联系，然后运用三角函数的诱导公式促使其转化.

总之，从不同的侧面去观察和思考问题，有利于培养同学们的求异思维和发散思维，有利于开阔视野，培养同学们观察问题、分析问题与解决问题的能力.

（作者单位：湖南浏阳市二中）

（责任编校 筑周峰）

三角函数是每年高考必考的内容之一，考查形式基本上是一道或两道小题、一道大题，考题多为容易题、基础题，难度不大；考查内容主要是考生对概念的理解、三角变换以及三角函数的图像与性质（包括对定义的理解和运用、象限角及符号、诱导公式、同角三角函数关系式的化简与求值等）.灵活运用上述概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数的图像考查性质等，是近些年高考考查的热点.下面仅就2013年高考湖南理科卷第17题化简函数解析式谈三种解法，供同学们参考.

题目 已知函数f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根据题意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，则有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小结 解法1的第一步主要是运用两角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β进行化简.第一步的化简是解决本题的关键.

（解法2）令θ =x- ，则f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法2主要是运用x- =（x- ）- ，然后运用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）进行化简.

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法3主要找出了x- 与x+ 的内在联系，然后运用三角函数的诱导公式促使其转化.

总之，从不同的侧面去观察和思考问题，有利于培养同学们的求异思维和发散思维，有利于开阔视野，培养同学们观察问题、分析问题与解决问题的能力.

（作者单位：湖南浏阳市二中）

（责任编校 筑周峰）

三角函数是每年高考必考的内容之一，考查形式基本上是一道或两道小题、一道大题，考题多为容易题、基础题，难度不大；考查内容主要是考生对概念的理解、三角变换以及三角函数的图像与性质（包括对定义的理解和运用、象限角及符号、诱导公式、同角三角函数关系式的化简与求值等）.灵活运用上述概念和各种三角公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数的图像考查性质等，是近些年高考考查的热点.下面仅就2013年高考湖南理科卷第17题化简函数解析式谈三种解法，供同学们参考.

题目 已知函数f（x）=sin（x- ）+cos（x- ），g（x）=2sin2 .

（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）= ，求g（α）的值；

（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解 （解法1）根据题意有f（x）=sin xcos - cos x·sin +cos xcos +sin xsin = sin x- cos x+ cos x+ sin x= sin x.

（Ⅰ）由上可知f（α）= sin α= ，则有sin α= ，α∈（2kπ，2kπ+ ），k∈Z.于是有cos α= ，且g（α）=2sin2 =1-cos α= .

（Ⅱ）由f（x）≥g（x），有 sin x≥1-cos x，即 sin x+ cos x=sin（x+ ）≥ .于是可知x+ ∈[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z，即x∈[2kπ，2kπ+ ]，k∈Z.

小结 解法1的第一步主要是运用两角差公式sin（α-β）=sin αcos β-cos αsin β和cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β进行化简.第一步的化简是解决本题的关键.

（解法2）令θ =x- ，则f（ +θ）=sin θ+cos（θ- ）=sin θ+ cos θ+ sin θ = sin θ + cos θ= （ sin θ+ cos θ）= sin（ +θ），即f（x）= sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法2主要是运用x- =（x- ）- ，然后运用cos（α-β）=cos αcos β+sin αsin β以及sin α·cos β+cos αsin β=sin（α+β）进行化简.

（解法3）f（x）=sin[（x+ ）- ]+cos（x- ）= -cos（x+ ）+cos（x- ）=-cos xcos +sin xsin +cos xcos +sin xsin =2sin xsin = sin x.

以下解法同解法1.

小结 解法3主要找出了x- 与x+ 的内在联系，然后运用三角函数的诱导公式促使其转化.

总之，从不同的侧面去观察和思考问题，有利于培养同学们的求异思维和发散思维，有利于开阔视野，培养同学们观察问题、分析问题与解决问题的能力.

（作者单位：湖南浏阳市二中）

（责任编校 筑周峰）