利用分步和跳步给解答题提分

李冬昌

高考数学解答题的答题方式不同于选择题和填空题，解答题既要结果又要过程，考生必须严格按照演绎推理的方式按部就班地进行解答和表述，可以说这里已经没有“投机取巧”的机会.高考是以分数取胜的，考生必须树立“能完全解答的题目一分不失，不能完全解答的题目分段、分步得分”的思想意识.

解答题的评分标准是按解答的过程，根据“得分点”分步给分，每个步骤又按要点给分.但是，并非写得越多得分越高，而是踩上“得分点”就给分（“踩点”），即按所用的数学知识、数学思想方法的要点给分，允许“等价答案”，允许“跳步得分”.因此，考生在解答时应尽可能地把过程分步写出，特别是那些解题层次分明的题目和那些已经程序化的方法，每进行一步“得分点”的演算都可以得到这一步的满分，应做到步骤清、要点明、格式齐.

解答题的前面三道题目一般是中等题，考生要力争全对，注意表达要准确，考虑要周全，书写要规范，逻辑要严密，防止被扣“步骤分”.数学考试真正的难点就是解答题的最后三道题的第二问和第三问的把关部分.对这几个把关的点，考生可以采用一些非常规的方法（如有些探索性的问题，考生可以用特殊代替一般，从而得到问题的结论，然后将结论写出来）.这些非常规的方法虽然不能代替一般的演绎推理的方法，但可以使考生多得一些分数.

下面根据教学中的经验，结合高考的阅卷情况，谈谈在数学解答题中如何利用分步和跳步得分的体会.

一、较容易的解答题的求解

对于比较容易解答的解答题（一般是前面三道），宜采用“一慢一快”的方法，就是审题要慢、解题要快，速战速决，为后面三道解答题留下充足的答题时间.

考生找到解题方法后，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水、重复啰唆，用高考阅卷老师的话说就是写出“得分点”.一般来讲，一个原理写一步就可以了.至于不是题目直接考查的过渡知识，考生可以直接写出结论，高考允许合理省略非关键步骤，但应详略得当.

例1 （2011年高考湖南文科卷第18题，满分为12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关.据统计，当X=70时，Y= 460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，

110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.

（Ⅰ）完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率.

解 （Ⅰ）在所给的数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.…………………………………………………①

故近20年六月份降雨量频率分布表为

…②

（Ⅱ）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时” ）=P（Y<490或Y>530）= P（X<130或X>210）………………………………………………③

= P（X=70）+ P（X=110）+ P（X=220）= + + = .

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为 .…④

①②③④表示本题的四个得分点.第一小题有两个得分点：一个是写出频数得3分，一个是写出频率得3分.第二小题有两个得分点：一个是转化为已知得4分，一个是求出概率并作答得2分.

二、较难的解答题的求解

对于较难的解答题（后面三道题）来说，考生要想在有限的时间内全做正确是不大现实的.当然，考生也不能全部放弃，应该尽可能地争取多拿分.对绝大多数考生来说，这里最重要的是：如何从拿不下来的题目中分段得分.我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，下面谈四个策略.

1.缺步解答

如果遇到一个很难的问题，考生确实“啃”不动，这时一个明智的做法是：将它分解成一系列的步骤，或者一个个子问题，能演算几步就演算几步，每进行一步“得分点”的演算，就可以得到这一步的满分.尽管最后的结论没有得出来，但是分数已得过半.从近几年高考解答题的特点来看，入口易，完善难，不可轻易放弃任何一题.

例2 （2011年高考湖南文科卷第21题，满分为13分）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 · 的最小值.

解 （Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y）.由题意有 -|x|=1.化简得y2=2x+2|x|.当x≥0时，y2=4x；当x<0时，y=0.

所以，动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x<0）. ………………………………………①

（Ⅱ）由题意可知，直线l1的斜率存在且不为0，将其设为k，则直线l1的方程为y=k（x-1）.

由y=k（x-1），y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是有x1+x2 =2+ ，x1x2=1.

由于l1⊥l2，所以直线l2的斜率为- .

设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1.…………………………………………②

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

当且仅当k2= ，即k=±1时， · 取最小值16.………………………………………………④

在直线与圆锥曲线这类题中，这种解答策略最明显.本题有①②③④四个得分点，第一问求出轨迹方程得4分，第二问一般总能做到步骤②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解题时卡在某个过渡环节上是很常见的.这时，考生可以先承认中间结论，然后向后推导，看能否得到结论.如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期的结论，这时再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”.如果受到高考时间所限，“中途点”的攻克来不及了，那么考生可以将前面的先写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”，然后一直做到底.也许，后面中间步骤又想出来了，这时考生也不要乱七八糟地补上去，可补在后面，书写为“事实上，某步可证明如下”.

有的题目可能设有多问，如果第一问求不出来，考生可以将第一问当成已知，先做第二问，这也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18题，满分为12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.

解 （Ⅰ）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为2，3.

P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）= = ；

P（X=3）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为2件”）+P（“当天商品销售量为3件”）= + + = .

故X的分布列为

………………………③

X的数学期望为EX=2× +3× = .………④

本题的这两道小题可以说是互相独立的，彼此不相干.所以，如果第一小题做不出来，考生可以跳过去，直接做第二小题.本题的上述四个得分点的得分分别为4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求进”是一个重要的解题策略.如果不能解决题中所提出的问题，那么考生可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部.总之，退到一个考生能够解决的问题为止.

比如：数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn}是等差数列，求公比q.

对等比数列问题，考生需考虑到q=1与q≠1两种情况.考生可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和稳定情绪后，再讨论q≠1时是否也满足题意，这时发现无解.如果对q≠1的情况确实不会解，考生还可以开门见山地写上：本题分q=1和q≠1两种情况进行讨论.也许只能完成其中一种情况，但考生没有用一种情况来代替主体，这在概念和逻辑上是清楚的.

4.辅助解答

一道题目的完整解答，既要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如准确的作图，将题目中的条件翻译成数学表达式，设出应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明中第一步n的取值等.如果处理得当，这些步骤也会增分，考生千万不要小视它们.

另外，书写也是辅助解答.卷面随意涂改或者正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分.所以，有人说书写工整、卷面整齐也得分，不无道理.

（作者为湖南宁远县一中高级教师，连续六年参加湖南高考数学阅卷工作，其中三次担任阅卷小组组长，三次担任阅卷大组组长）（责任编校？筑周峰）

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

当且仅当k2= ，即k=±1时， · 取最小值16.………………………………………………④

在直线与圆锥曲线这类题中，这种解答策略最明显.本题有①②③④四个得分点，第一问求出轨迹方程得4分，第二问一般总能做到步骤②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解题时卡在某个过渡环节上是很常见的.这时，考生可以先承认中间结论，然后向后推导，看能否得到结论.如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期的结论，这时再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”.如果受到高考时间所限，“中途点”的攻克来不及了，那么考生可以将前面的先写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”，然后一直做到底.也许，后面中间步骤又想出来了，这时考生也不要乱七八糟地补上去，可补在后面，书写为“事实上，某步可证明如下”.

有的题目可能设有多问，如果第一问求不出来，考生可以将第一问当成已知，先做第二问，这也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18题，满分为12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.

解 （Ⅰ）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为2，3.

P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）= = ；

P（X=3）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为2件”）+P（“当天商品销售量为3件”）= + + = .

故X的分布列为

………………………③

X的数学期望为EX=2× +3× = .………④

本题的这两道小题可以说是互相独立的，彼此不相干.所以，如果第一小题做不出来，考生可以跳过去，直接做第二小题.本题的上述四个得分点的得分分别为4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求进”是一个重要的解题策略.如果不能解决题中所提出的问题，那么考生可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部.总之，退到一个考生能够解决的问题为止.

比如：数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn}是等差数列，求公比q.

对等比数列问题，考生需考虑到q=1与q≠1两种情况.考生可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和稳定情绪后，再讨论q≠1时是否也满足题意，这时发现无解.如果对q≠1的情况确实不会解，考生还可以开门见山地写上：本题分q=1和q≠1两种情况进行讨论.也许只能完成其中一种情况，但考生没有用一种情况来代替主体，这在概念和逻辑上是清楚的.

4.辅助解答

一道题目的完整解答，既要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如准确的作图，将题目中的条件翻译成数学表达式，设出应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明中第一步n的取值等.如果处理得当，这些步骤也会增分，考生千万不要小视它们.

另外，书写也是辅助解答.卷面随意涂改或者正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分.所以，有人说书写工整、卷面整齐也得分，不无道理.

（作者为湖南宁远县一中高级教师，连续六年参加湖南高考数学阅卷工作，其中三次担任阅卷小组组长，三次担任阅卷大组组长）（责任编校？筑周峰）

故 · =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |+| |· | |=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）………………③

=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+ ）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+ ）≥8+4×2 =16.

当且仅当k2= ，即k=±1时， · 取最小值16.………………………………………………④

在直线与圆锥曲线这类题中，这种解答策略最明显.本题有①②③④四个得分点，第一问求出轨迹方程得4分，第二问一般总能做到步骤②，即可得到7分.

2.跳步解答

考生在解题时卡在某个过渡环节上是很常见的.这时，考生可以先承认中间结论，然后向后推导，看能否得到结论.如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期的结论，这时再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”.如果受到高考时间所限，“中途点”的攻克来不及了，那么考生可以将前面的先写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”，然后一直做到底.也许，后面中间步骤又想出来了，这时考生也不要乱七八糟地补上去，可补在后面，书写为“事实上，某步可证明如下”.

有的题目可能设有多问，如果第一问求不出来，考生可以将第一问当成已知，先做第二问，这也算是跳步解答.

例3 （2011年高考湖南理科卷第18题，满分为12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.

（Ⅰ）求当天商店不进货的概率；

（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.

解 （Ⅰ）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为1件”）…①

= + = .………………………………②

（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为2，3.

P（X=2）=P（“当天商品销售量为1件”）= = ；

P（X=3）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为2件”）+P（“当天商品销售量为3件”）= + + = .

故X的分布列为

………………………③

X的数学期望为EX=2× +3× = .………④

本题的这两道小题可以说是互相独立的，彼此不相干.所以，如果第一小题做不出来，考生可以跳过去，直接做第二小题.本题的上述四个得分点的得分分别为4分、2分、4分、2分.

3.退步解答

“以退求进”是一个重要的解题策略.如果不能解决题中所提出的问题，那么考生可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部.总之，退到一个考生能够解决的问题为止.

比如：数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn}是等差数列，求公比q.

对等比数列问题，考生需考虑到q=1与q≠1两种情况.考生可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和稳定情绪后，再讨论q≠1时是否也满足题意，这时发现无解.如果对q≠1的情况确实不会解，考生还可以开门见山地写上：本题分q=1和q≠1两种情况进行讨论.也许只能完成其中一种情况，但考生没有用一种情况来代替主体，这在概念和逻辑上是清楚的.

4.辅助解答

一道题目的完整解答，既要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如准确的作图，将题目中的条件翻译成数学表达式，设出应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明中第一步n的取值等.如果处理得当，这些步骤也会增分，考生千万不要小视它们.

另外，书写也是辅助解答.卷面随意涂改或者正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分.所以，有人说书写工整、卷面整齐也得分，不无道理.

（作者为湖南宁远县一中高级教师，连续六年参加湖南高考数学阅卷工作，其中三次担任阅卷小组组长，三次担任阅卷大组组长）（责任编校？筑周峰）