一类七次系统三次幂零奇点的中心判定

卜珏萍

(巢湖学院 数学系，安徽 巢湖238000)

0 引言

本文讨论一类特殊的原点为三次幂零奇点的七次微分系统

由文献［1］，容易验证，系统(1)原点为中心或焦点。

1 正文

由文献［4］，对系统(1)可待定形式级数M(x，y)=y2+x4+ο(r4)以及正整数s 使得成立。再由文献［4］给出的递推公式，在Mathematica 软件上计算可得

由于s 是正整数，故可得系统(1)原点的前两个拟Lyapunov 常数为

且当a02(a21+2b202)≠0 时，由ω7=ω9=0 可求得

以下取s=1，则可得:

定理1:对系统(1)，可逐项确定形式级数M(x，y)=y2+x4+ο(r4)，使得

其中，λm是系统(1)中原点的第m 个拟Lyapunov 常数，m=1，2，…，10.

由文献［4］中的递推公式，同时利用Mathematica 软件继续计算可得:

定理2:系统(1)中原点的前10 个拟Lyapunov 常数分别为:

当λi=0(i=1，2，…，10)时，可得

或

故由(7)与(8)，得

定理3:系统(1)中原点的前10 个拟Lyapunov 常数全为零，当且仅当下列条件之一成立:

(i)当(9)式成立时，系统(1)化为

此时，X=y+a21x2y+a03y3+a05y5+a07y7，Y=－2x3+b02y2，且

则由对称原理，系统(1)的向量场对称于x 轴，且原点为中心。

同理，系统(1)的向量场对称于y 轴，且原点为中心。

2 结 语

由以上分析可得:

定理4:系统(1)中原点为中心的充要条件是原点的前10 个拟Lyapunov 常数全部为零，即定理3 中的两组条件之一成立。

［1］Amelikin.B.B.，Lukashivich.H.A.，Sadovski.A.P..Nonlinear Oscillations in Second Systems［M］.BGY Lenin:B.I.Press，1982.

［2］Alvarez.M.J.，Gasull.A..Monodrama and stability for nilpotent critical points［J］.IJBC，2005，15(4):1253－1265.

［3］Alvarez.M.J.，Gasull.A..Cenerating limits cycles from a nilpotent critical point via normal forms［J］.J.Math.Anal.Appl，2006，318:271－287.

［4］刘一戎，李继彬.平面向量场的若干经典问题［M］.北京:科学出版社，2010.

［5］鹿永梅，刘一戎.一类四次系统的幂零中心条件与极限环分支［J］.邵阳学院学报:自然科学版，2011，8(1):14－19.

［6］赵倩倩.一类原点为幂零奇点的七次系统的中心判定［J］.科技信息，2012(3):301－302.