表决系统可靠性指标的近似置信限比较

李晓飞，郑海鹰

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

表决系统可靠性指标的近似置信限比较

李晓飞，郑海鹰†

(温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035)

利用E-Bayes和多层Bayes方法对定时截尾试验数据下表决系统的可靠性指标进行估计，得到了部件失效率、系统可靠性和系统平均寿命的E-Bayes近似置信限和多层Bayes近似置信限，并利用蒙特卡罗方法进行模拟比较，结果表明，多层Bayes方法比E-Bayes方法更具优势．

表决系统；可靠性指标；多层Bayes估计；E-Bayes估计；近似置信限

在系统工程领域，系统的可靠性是指系统在规定条件下和规定时间内实现其规定功能的能力．表决系统的可靠性研究是系统可靠性分析的重要组成部分，在系统工程领域有非常重要的应用价值．关于表决系统可靠性指标的近似置信限问题，近年来已有许多研究[1-4]，例如，文献[2]给出了并联系统可靠性指标的多层Bayes近似置信限，同时给出了定数双截尾样本下表决系统可靠性指标的经验Bayes近似置信限，文献[4]给出了失效率的综合E-Bayes估计置信限，但关于置信限之间优劣比较的研究报道较少．本文利用E-Bayes方法和多层Bayes方法研究了部件寿命服从泊松型元件组成的表决系统的可靠性指标的近似置信限，并利用蒙特卡罗方法进行模拟比较，结果显示，多层Bayes估计比E-Bayes估计更具优势．

1 模型与基本假定

表决系统是一个由n个部件组成，当且仅当其中至少有k个部件正常工作时系统才能保持正常工作状态的系统．假设表决系统满足下列条件：

1）设 K/ N（ G ）表决系统由n个相互独立的同类部件组成，此n个部件为随机选取．对抽取的n个样本进行试验，当有部件失效后，不再补充，直到时刻T时停止试验，这种试验称为无替换定时截尾试验[1]．预先确定试验截止时间为T．

2）每个部件的寿命服从参数为λ的泊松分布，即：

3）部件失效率λ的先验分布为：

2 可靠性指标的近似置信限

2.1 失效率λ的近似置信限

2.2 失效率λ的E-Bayes估计近似置信限

2.3 失效率λ的多层Bayes近似置信限

证明：现对寿命服从泊松分布的部件进行m次定时截尾试验，截尾时间为T，i=1,2,…,n，得到部件失效率的估计为λ，在此试验数据下的似然函数为：

3 系统可靠性和平均寿命的近似置信限

3.1 系统的可靠度与平均寿命的Bayes近似置信限

证明：部件寿命服从泊松分布的表决系统的可靠度与平均寿命分别为：

3.2 系统可靠度与平均寿命的E-Bayes近似置信限

3.3 系统可靠度与平均寿命的多层贝叶斯近似置信限

定理5 表决系统可靠度和平均寿命置信度为1-α的多层Bayes近似置信下限为：

4 随机模拟与置信限精度优劣的比较

4.1 随机模拟

利用蒙特卡罗随机模拟方法[7]对近似置信限进行模拟．

1）考虑 3/5（ G ）系统，随机产生服从λ=0.2的泊松分布的值a1, a2及服从（0, 1）上的均匀分布的值b1, b2，以a1, b1为真值，以a2, b2为随机产生的模拟值．

2）将a1, b1及a2, b2分别代入（4）式得到失效率λ的置信下限 λˆL，再将a1, b1和a2, b2代入（7）式和（8）式得到系统可靠度和平均寿命的置信下限．

3）将a1, b1代入（1）式得到失效率λ的值，将失效率λ、失效数目Xi=r以及既定时间t0分别代入（5）式和（6）式，得到失效率λ的E-Bayes近似置信限与多层Bayes近似置信下限．

4）将 λˆEB代入（9）式和（10）式得到系统可靠度和平均寿命的E-Bayes近似置信限，将 λˆMB代入（11）式和（12）式得到系统可靠度和平均寿命的多层Bayes近似置信下限．

模拟结果见1．可以看出，样本数据较少时，E-Bayes近似置信限与多层Bayes近似置信限有显著性的差异，可靠性指标的多层Bayes置信限与真值更接近，且多层Bayes置信限比E-Bayes置信限更加精确．样本数据较大时，E-Bayes近似置信限与多层Bayes近似置信限没有显著性的差异．

表1 随机模拟结果 (a1= 5, a2= 6, b1= 0.5, b2= 0.7, t0= 5)

4.2 置信限精度的优劣比较

1）给定a, b的值 a*, b*，利用随机模拟产生一组λ值，选取其中一个记为 λ*，将得到的值分别代入（5）式和（6）式得到 R（ t*）与 MTTF（ t*）．

3）重复步骤1）、2）N次，分别得到N组数据，分别考虑E-Bayes近似置信限与多层Bayes近似置信限覆盖 λ*、 R（ t*）、 MTTF（ t*）的比例C0．

模拟结果见2．从表2可以看出，多层Bayes近似置信限比E-Bayes近似置信限具有更好的精度，特别是在小样本数据情况下，多层 Bayes估计具有显著性优势，样本数据较大时，多层Bayes近似置信限与E-Bayes近似置信限的精度没有显著性差异．

表2 置信限精度的模拟结果 (a1= 5, b1= 0.5)

[1] 严惠云, 师义民. 并联系统可靠性指标的多层Bayes近似置信限[J]. 西南民族大学, 2007, 24(1): 39-41.

[2] 师义民, 寇开昌, 周巧娟. 定数双截尾样本下 K/N(G) 系统可靠性指标的经验贝叶斯估计[J]. 数学的实践与认识, 2007, 37(1): 84-88.

[3] 武东, 汤银才. 指数分布逐次定数截尾试验的多层贝叶斯估计[J]. 上海第二工业大学学报, 2011, 28(2): 114-116.

[4] 刘永峰, 郑海鹰. 无失效数据失效率的综合E-Bayes估计[J]. 温州大学学报: 自然科学版, 2011, (10): 7-13.

[5] SHI Y M, SHI X L, XU Y. Approximate confidence limits of the reliability performances for a cold standyseries system [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing, 2005, 28(2): 439-445.

[6] 峁诗松. 贝叶斯统计[M]. 北京: 中国统计出版社, 1999: 13-20.

[7] 赵宇, 杨军, 马小兵. 可靠性数据分析教程[M]. 北京: 北京航空航天大学出版社, 2003: 122-131.

The Approximate Confidence Limit of the K/N(G) System’s Reliability Performance

LI Xiaofei , ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou,China 325035)

An estimation is made of the K/N(G) system’s reliability performances based on E-Bayes and multiple Bayes method, achieving the approximate confidence limits of the failure rate, reliability function and average life. Then, the results are compared with Monte-Carlo simulation. The multiple Bayes method shows a distinct advantage over E-Bayes method.

K/N(G) system; Realiability Performances; Multiple Bayes Method; E-Bayes; Approximate Confidence Limit

O213

A

1674-3563(2014)01-0017-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.003 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：王一芳)

2013-03-08

李晓飞(1988- )，男，山东茌平人，硕士研究生，研究方向：应用统计．† 通讯作者，wzzhying@163.com