具有脉冲效应的森林虫害模型动力学性质研究

杜明银

(河南理工大学万方科技学院，河南郑州 451400)

具有脉冲效应的森林虫害模型动力学性质研究

杜明银

(河南理工大学万方科技学院，河南郑州 451400)

基于害虫生物控制策略，研究固定时刻投放天敌和种植树木的脉冲种群系统模型，利用Floquer理论和比较原理，研究害虫灭绝周期解的存在性和全局渐进稳定性，给出系统持续存在的条件．关键词：森林害虫；脉冲投放；时滞；稳定性；周期解

森林生长周期较长，几十年甚至上百年，在其漫长的生长发育过程中，随时可能受到害虫侵袭，轻者造成林木生长缓慢，质量变劣，重者死亡，造成森林面积的大量减少．对于一种害虫或病害，若长期防治而不能控制，每年即使付出大量的资金、劳力，但仍有大面积林木被吃光致死．我国植物种类占世界第二位，森林病虫种类繁多，害虫的多样性、环境条件的复杂性给防治工作带来一定的困难，森林病虫害防治工作具有长期性与艰巨性特点．而农药的广泛、大量和长期使用已经给人畜健康、环境和农田生态系统带来了不良影响；同时也使有害生物逐渐产生抗药性，加大了防治工作难度．从而人们越来越重视生物防治方法，根据植物病虫害系统的食物链，定期地投放害虫的天敌，以期达到控制或根除害虫的目的．由于投放害虫天敌不是连续进行的，从而具有脉冲效应；另外，每年定期植树也具有脉冲效应．因此，用脉冲动力系统来描述这种现象符合生态实际，这方面研究Lakshmikantham V等早在1989年就已经提出[1]，后来有些学者做了推广[2-4]．

本文基于害虫生物控制策略，建立了在固定时刻投放害虫天敌和种植树木的三种群脉冲微分系统模型，利用脉冲微分方程的Floquet理论和比较原理研究了害虫灭绝周期解的存在性和全局渐进稳定性，给出系统持续存在的条件．

1 模型及其适定性

根据害虫、树木、害虫天敌这三个种群之间的关系，建立三种群脉冲微分系统模型．x1( t)表示t时刻害虫的数量，x2( t)表示t时刻树木的数量，y( t)表示t时刻害虫天敌的数量．在固定时刻释放害虫天敌和新植入树木的脉冲微分模型为：

其中，α表示害虫的内禀增长率，η＞0表示单位时间内一只害虫被一只天敌吃掉的概率，μ＞0表示害虫天敌的死亡率，d＞0表示害虫作为食物对天敌的发展系数，γ＞0表示害虫与树木间的相互作用，μ2＞0和β分别表示树木的死亡率和增植率，p表示t=nτ(n∈Z+)时刻投放害虫天敌的数量，p2表示nτ时刻新种植树木的数量，τ是脉冲效应周Δy( t)=y( t+)-y( t )．

模型（1）的解x( t)=(x1( t),x2( t),y( t ))是分段连续函数，当t∈(nτ,(n+1)τ]时，x( t)是连续的．令f=(f1,f2,f3)为（1）的前三个方程右端的映射，显然f的光滑性保证了解的存在唯一性．

引理1[5]对于齐次线性T-周期脉冲微分方程：

假设有下面的条件：

如果条件H1-H3成立，则（2）的每一个基解矩阵都可以表示为如下形式：

这里G∈Cn× n是常值矩阵，矩阵Φ(·)∈PC1( R, Cn× n)是非奇异和T-周期的．

引理2[6]如果条件H1-H3成立，则T-周期的线性脉冲方程（2）是：

2 模型的周期解

这部分首先给出模型（1）的害虫灭绝周期解，通过Floquet理论及比较原理得到了周期解不稳定和全局渐进稳定的条件，最后给出了持续生存的定义和系统持续生存的条件．

3 系统的持续生存性

首先给出持续生存的定义：

定义1 系统（1）称为持续生存的，如果存在正常数m, M,τ0，当t＞t0时，系统（1）的所有正解(x1( t),x2( t),y( t))满足m≤xi( t)≤M,(i=1,2),m≤y( t)≤M ．

为了证明下面定理，先给出引理3：

引理3[7]设(x1( t),x2( t),y( t))是（1）的任意解，则存在一个常数M＞0使得t充分大时有xi( t)≤M,(i=1,2),y( t)≤M ．

4 结 论

[1] Lakshmikantham V, Bainov D, Simeonov P. Theory of impulsive differential equations [M]. Singapore: World Scientific, 1989: 133-135.

[2] Tang S Y, Robert A C. Models for integrated pest control and their biological implications [J]. Math. Biosci., 2008, 215: 115-125.

[3] 张玉娟, 陈兰荪, 孙丽华. 一类具有脉冲效应的捕食者-食饵系统分析[J]. 大连理工大学学报, 2004, 44(5): 769-774.

[4] 徐为坚, 陈兰荪. 基于喷洒杀虫剂及释放病虫的脉冲控制害虫模型[J]. 数学的实践与认识, 2008, 38(17): 89-94.

[5] Drumi B, Pavel S. Impulsive differential equations: periodic solutions and applications [M]. England, Scientific and Technical, 1993: 26-31.

[6] Jiao J J, Chen L S. A pest management SI model with impulsive control concerned [J]. Math. Biosci., 2007, 22: 385-394.

[7] Tan Y S, Chen L S . Modeling approach of biological control of insect pest by releasing infected pest [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 39: 304-315.

Property Study on the Dynamics for Model of Damage by Forest-insects with Pulse Effect

DU Mingyin
(Wan fang Institute of Science and Technology, Henan Polytechnic University, Zhengzhou, China 451400)

This paper introduces the systematic model for the pulse population, which is applied to the reseach of predator release and plantation of trees at fixed moment, based on the biological control strategy of injurious insects. By means of Floquer theory and comparison principle, this paper studies the existence of the periodic solution to injurious insect extinction as well as the overall asymptotic stability. Meanwhile, the condition of the system constant existence is given.

Injurious Forest-insect; Pulse In-put; Time-lag; Stability； Periodic Solution

O175.13

A

1674-3563(2014)01-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2014-04-15

河南省教育厅科学技术研究重点项目(12B110012)

杜明银(1980- )，男，河南濮阳人，讲师，硕士，研究方向：生物数学