(2+1)维ZK方程的孤立波解和周期波解

康晓蓉 鲜大权

(西南科技大学理学院 四川绵阳 621010)

本文考虑如下形式的(2+1)维 Zakharov－Kuznetsov(ZK)方程:

其中 α，β，γ为非零实数。1974年，Zakharov和Kuznetsov从含有冷离子和热等温电子的磁化等离子体中推导出了该模型方程。它作为与波动现象密切相关的非线性方程，既可用于描述水波在(2+1)维空间的运动规律，也可用于描述处于磁场中的等离子体的运动规律。早在20世纪90年代，Shivamoggi B.K.利用 Painleve测试法对它作了研究［1］。近年来，该方程引起了更多物理学家和数学家的关注。闫振亚等用拟设法得到了组合的(2+1)维ZK方程的钟状与扭状组合型孤波解和周期孤波解［2］;Mou S.S.A.通过相似约化获得了(1)式的一些显式解［3］;Abdul－Majid Wazwaz采用 sin－cos法和扩展tanh法得到了2个修正形式周期孤子解和周期解［4－5］;石玉仁等用同伦分析法得到修正的方程(1)的一些近似精确解［6］;闫志莲等利用改进直接法给出了广义(2+1)维ZK方程的对称和新旧显式解间的关系［7］;邓朝方应用新的扩展双曲函数法，得到了方程(1)的若干周期波解［8］;杨征等用改进Riccati方程映射法得到了特殊孤子解结构［9］。但方程(1)的可积性内涵丰富［10］，其不同的解结构表达了不同的物理意义。

本文应用微分动力系统定性理论对方程(1)进行定性分析，并运用椭圆方程映射法寻求相应解的显式表达。

1 定性分析

取波变换:

其中k1，k2，c1为待定非零常数，k1，k2分别是行波在x，y方向的波数，c1为波速，c0是式(1)的常数特解。将式(2)代入方程(1)得:

其中v'=dv/dξ，(3)式对ξ积分一次，取积分常数为A得:

记dv/dξ=w(ξ)，则非线性常微分方程(4)等价于以下自治动力系统:

系统(5)有两个平衡点:

在平衡点处(5)式右边的Jacobi矩阵分别为:

其特征根分别为:

当(αk1c0－c1)2－αk1A＞0时，λi(i=1，2)或为两不等实数，或为两共轭纯虚根。此时平衡点P1，P2或为鞍点或为中心点，且P1为鞍点时P2必为中心点，P1为中心点时P2必为鞍点。当(αk1c0－c1)2－αk1A＜0时，λi(i=1，2)为两共轭复根。这时的平衡点P1，P2或为焦点或为中心点。

由(5)式可知，系统在相平面(w，v)上的相轨线满足:

综上分析可得，系统(4)存在鞍－鞍同宿轨和围绕中心的周期闭轨。方程(1)相应地存在孤立波解和周期波解［11］。

2 孤立波解和周期波解

式(4)两边乘以v'后再对ξ积分一次，取积分常数为B得:

这是广义的常系数三次椭圆方程，下面用椭圆方程映射法和Jacobi椭圆函数展开法两个方法寻求式(8)的解。

2.1 椭圆方程映射法

依据文献［12］的相关结果得式(9)的解及式(1)的相应解。

2.1.1 孤立波解

当A=B=0，α，k1∈R－ {0}，(αk1c0－c1)τ＞0时，(9)的解是:

ξ→ ±∞⇒v1→0，因此这是从鞍点P1=(0，0)出发又回到P1的同宿轨。相应获得(1)的孤立波解为:

2.1.2 周期波解

(1)Weierstyass椭圆函数周期波解。

当A，B∈R，αk1τ＞0，αk1c0－c1∈R时，

相应获得(1)的周期波解为:

有理函数解为:

(2)正割函数周期波解。

当A=B=0，α，k1∈R－{0}，(αk1c0－c1)τ＜0 时，

这也是围绕中心点的闭轨。式(1)的相应周期波解为:

2.2 Jacobi椭圆函数展开法

(1)假设(17)的解为:

其中sn=sn(ξ，m)是以m∈［0，1］为模的 Jacobi椭圆正弦函数，将(18)式代入(17)式得关于待定参数a0，a1，a2，A，B的非线性代数方程组如下:

这是围绕中心的闭轨。当m→1时

相应获得式(1)的周期波解:

孤子解:

(2)假设(17)的解为:

其中cn=cn(ξ，m)是以m∈［0，1］模的 Jacobi椭圆余弦函数，将(24)式代入(17)式得关于待定参数a0，a1，a2，A，B的非线性代数方程组如下(式(25)):

(25)的解是:

因此得式(8)的解:

这是围绕中心的闭轨。当m→1时

相应获得式(1)的周期波解:

钟状孤立波解:

3 结论

本文应用行波变换将(2+1)维ZK方程化成了非线性常微分方程，对其进行了动力学定性分析，并运用椭圆方程映射法和Jacobi椭圆函数展开法获得了方程的孤立波解和周期波解。

［1］SHIVAMOGGI B K.Painleve test for the Zakharov －Kuznetsov equation［J］.Phys，Scripta，1996，42:641－648.

［2］闫振亚，张鸿庆.组合Zakharov－Kuznetsov方程的显式孤波解［J］.纯粹数学与应用数学，2000，16(2):31－35.

［3］MOUSSAM H M.Similarity solutions to nonlinear partial differential equation of physical phenomena represented by the Z － K equation［J］.Int J Eng Sci，2001，39:1565－1571.

［4］WAZWAZ A M.Exact solutions with solutions and periodic structures for the Zakharov－Kuznetsov equation and itsmodified form［J］Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2005，10:597－606.

［5］WAZWAZ A M.The extended tanh method for the Z－K equation，themodified Z－K equation，and its generalized forms［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulations［In Press］dor 10.1016/j.cnsns.2006，10:007.

［6］石仁玉，许建新，等.同伦分析法在求解非线性演化方程中的应用［J］.物理学报，2006，55(4):1556 －1560.

［7］闫志莲，刘希强.广义Zakharov－Kuznetsov方程的对称及精确解［J］.原子与分子物理学报，2007，24(1):141－144.

［8］DENG Chao－fang.New Exact Solutions to the Zakharov－Kuznetsov and its generalized form［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2010，15:857 －868.

［9］杨征，马松华，方建平.(2+1)维Zakharov－Kuznetsov方程的精确解和孤子结构［J］.物理学报，2011，60(4):040508.

［10］肖光灿，鲜大权，肖潇.New exact solutions to the Dullin－Gottwald－Holm Equations［J］.西南科技大学学报，2010，26(1):93 －99.

［11］XIANDa－quan.Saddle－node heteroclinic orbitand exact nontraveling wave solutions for(2+1)D KdV－Burgers Equation［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，696074:1－7.

［12］ZHANG S.A generalized auxiliary equation method and its application to(2+1)D KdV equations［J］.Compu.and Math.with App.，2007，54:1028 －1038.