壁板边界松驰下颤振非线性动力特性分析

肖艳平，杨翊仁，叶 露

（1.西南交通大学力学与工程学院，成都 610031；2.中国民航飞行学院飞行技术学院，广汉 618307）

壁板边界松驰下颤振非线性动力特性分析

肖艳平1，2，杨翊仁1，叶 露2

（1.西南交通大学力学与工程学院，成都 610031；2.中国民航飞行学院飞行技术学院，广汉 618307）

采用分离变量法和伽辽金法建立三维壁板的非线性气动弹性运动方程，用一阶活塞理论模拟壁板所受的气动力，分析了壁板的颤振边界及稳定性，进而取边界松弛因子，动压和面内力为分叉参数，研究壁板颤振时的分叉及混沌等复杂动力学特性。计算结果表明：边界松弛下壁板颤振系统表现出丰富的动力学行为，其分叉特性很复杂。随着边界松弛因子的增大，静态稳定区域缩小，而屈曲和混沌区域增大，系统稳定性降低。

壁板；颤振；活塞理论；边界条件；分叉

壁板颤振，是指高速气流中壁板结构的惯性力、弹性力以及一个表面上的气动力共同作用下产生的一种自激振动现象。虽然壁板颤振由于几何非线性效应，一般不会像机翼颤振那样发生振幅随时间以指数形式增长的破坏性振动，而通常呈现出限幅极限环振动的形式，但是剧烈的壁板颤振对壁板结构的疲劳寿命甚至飞行器的飞行性能以及飞行安全产生十分不利的影响［1－3］。

壁板颤振系统动力特性十分复杂，随着系统参数的变化，壁板表现出静不稳定性（屈曲）和动不稳定性（颤振与混沌运动）。影响壁板颤振动力特性的系统因素有很多，其中重要一项就是支撑的边界条件。常规情况下，研究壁板的动力特性总是假定支撑边界是理想的，即边界是简支或固支的。实际上，边界固定很难满足这种理想的边界，有很多的因素影响边界条件，如选用材料机械性能的偏差，尺寸大小，装配工艺差异，摩擦，垫圈蠕变等。另外，由于长时间的振动也会使边界条件发生改变。这样必然影响壁板的结构强度和疲劳特性。而对于边界条件对壁板结构的影响的研究较少，还有待加强。夏巍等［4－6］采用有限元法对理想边界条件（简支和固支边界）壁板的动力学特性进行了研究。Lindsley等［7－8］采用边界扭转弹簧，通过调节扭转弹簧刚度的大小研究边界扭转刚度对壁板系统动力特性的影响。Ibrahinua［9－10］采用伽辽金法分析二维无限展长壁板相关边界条件下非线性动力特性和和随机特性。

本文以超音速流作用下的三维壁板为模型，运用Von Karman大变形非线性应变－位移关系和一阶活塞气动力理论，采用分离变量法和伽辽金法建立了三维壁板的颤振方程，再用Matlab编程进行了数值仿真，研究边界条件对壁板动力特性的影响。

1 动力学方程

考虑一个受面内力Nx，Ny作用的三维壁板a×b× h，且h≪a，单位长度质量为ρ。上表面作用有沿x方向超音速气流，其速度为U∞，如图1所示。根据Kirchhoff平板理论和Von Karman大变形定理，其控制方程为：

其中：w为板的z向位移，D＝Eh3／12（1－μ2）为板的弯曲刚度，φ为Airy应力函数，E为材料的弹性模量，q0为气动载荷，▽2（）＝（），xx＋（），yy，下标中一撇表示对其后的变量求导数。在板的y方向上，由于板的两边都被简支，又与来流垂直，高阶模态不易激发，仅取其一阶模态就可以体现此方向上的变形影响，故N取1。而在板的?方向上，为简化分析，只取四阶，即M取4。

图1 壁板模型Fig.1 Themodel of panel

2 气动力

3 线性分析

线性颤振分析目的是为了确定系统的颤振边界，即系统无量纲临界动压随边界松弛因子k的变化关系。令q＝eiΩt，代入式（9）的线性部分，可以得到系统的特征值矩阵，其中Ω通常情况为复数形式，Ω＝ω＋ci，ω为实部，即为系统频率，c为虚部，表征系统的阻尼。取结构几何参数sb＝1，sh＝300，质量参数／M∞＝0.01，面内力Rv＝Ry＝0，代入式（9）的线性部分，根据特征值计算结果得到系统的频率ω与阻尼c随无量纲动压λ的变化，如图2所示。实线和长短线分别表示理想的固支和简支边界条件。由图可知：对于特定的k，当无量纲动压λ＜λcr时，系统一阶频率随动压的增加而增大，系统阻尼全部都小于零，系统平衡点渐近稳定；当λ＝λcr时，第一阶频率与第二阶频率相交，系统失稳，此时阻尼等于零，系统平衡点失稳，即系统产生颤振。图3给出了不同无量纲面内压力R（R＝－Rx／π2）下颤振临界动压λcr随边界松弛因子k的变化曲线。由图2可知k＝1与k＝∞时，系统的动态情况已经很接近，因此图3和后面计算重点关注k变化区间为0～1。由图3可知，k等于零（固支边界）时的颤振临界动压λcr大于k大于零时的颤振临界动压λcr，边界约束松弛减小了颤振临界动压，降低了系统的稳定性。另外，当面内压力Rx增大时，稳定区域减小，而颤振区域在增大，面内压力不利于壁板稳定。

4 非线性分析

基于Matlab编程，采用四阶龙格－库塔法对式（9）进行积分，得到模态坐标下的响应，再利用（3）式将其转化到物理坐标下，即可得到壁板的最大位移处（＝0.75＝0.5）时间响应历程。

4.1 稳定边界

分别取五个不同的边界松弛因子k，考察其对壁板动力学行为分布的影响。图4给出了R－λ参数平面内系统的动力特性分布。从图中可以看出，颤振系统在参数平面内表现出各种动力学行为，包括（Ⅰ）静态平衡，（Ⅱ）静态屈曲，（Ⅲ）极限环运动，（Ⅳ）拟周期和混沌。而边界松弛因子的大小对颤振模型的动力学特性影响很大。当k增大时，静态稳定区域缩小，而屈曲和混沌区域在增大。由此可见，边界松弛降低了系统维持静态稳定的能力，增加混沌运动的可能性。此结果与通过线性稳定性分析得到的结果吻合，但线性分析无法得到混沌区域的变化情况。

图2 特征值随动压的变化图Fig.2ωand c vsλfor different k

图3 颤振临界动压随边界松弛因子的变化图Fig.3λcrvs k for different R

图4 不同边界松弛因子下正方形壁板稳定边界Fig.4 Stability boundary for different values of relaxation parameter

4.2 k为分岔参数

将边界松弛因子k作为可变参数，计算系统的分叉图。对某个k值，当位置＝0.75＝0.5处达到稳态响应后，记录速度为零的位移。改变k值，按上述过程便得到了离散无量纲位移随边界松弛因子k变化的分叉图。取λ＝230，R＝5.7，边界松弛因子k的变化区间为［0，1］，则无量纲位移随k变化的分叉图如图5所示。随k的增大，系统经历了衰减振动状态，周期1振动，周期3振动和拟周期振动后，又进入周期3振动，拟周期振动，随后进入混沌状态。继续增大k值，系统再次进入周期3，最后由拟周期振动进入混沌运动状态。

上面所述的现象通过相平面曲线来描述更为清楚。当k＜0.06时，平衡点为稳定的焦点，任何扰动经一段时间后将回到平衡点。当0.06≤k＜0.13时，系统处于简单的极限环振动，如图6（a）。当0.13≤k＜0.135，0.17≤k＜0.28和0.45≤k＜0.6时，系统处于周期3极限环振动，如图6（c，f）；当0.135≤k＜0.17，0.28≤k＜0.325及时0.6≤k＜0.65，系统处于拟周期振动，如图6（b，d，f）；当0.325≤k＜0.45与k≥0.65时系统处于混沌状态，如图6（e，h）。

图5 分叉图；λ＝230，R＝5.7Fig.5 Bifurcation diagram forλ＝230 and R＝5.7

图6＝0.75＝0.5处相图，λ＝230，R＝5.7Fig.6 Phase－p lane plots wher＝0.75＝0.5 forλ＝230，R＝5.7

4.3 λ和R为分岔参数

取R＝5.7，k＝0.2，无量纲位移随动压变化的分叉图如图7所示。当λ＞184.5后，系统由屈曲状态直接进入混沌状态；当λ＞223.5后系统进入周期3振动，直到λ＝234.5系统再次进入混沌运动状态。当λ＞276.5后，系统处于非对称的极限环振动状态，大振幅偏向壁板的哪一侧是随机的。当λ≥288后，系统进入对称极限环振动状态。图8给出无量纲位移随面内压力变化的分叉图（取λ＝230，k＝0.2）。随面内压力R的增大，系统经历了衰减振动状态，周期1振动（R≥4.57），周期3振动（R≥5.32），拟周期振动（R≥5.3），随后又进入周期3振动（R≥6.33），拟周期振动（R≥6.56），最后进入混沌运动状态（R≥6.63）。

图7 分叉图；R＝5.7Fig.7 Bifurcation diagram for R＝5.7 and k＝0.2

图8 分叉图；λ＝230，k＝0.2Fig.8 Bifurcation diagram forλ＝230 and k＝0.2

5 结 论

通过对边界松弛下壁板颤振非线性动力特性的研究，可得出如下结论：

（1）线性理论分析表明边界松弛减小了颤振临界动压，降低了系统的稳定性。

（2）考虑几何大变形非线性时，通过分析颤振系统在边界松弛下其运动特性在分岔参数平面内的分布，发现随着边界松弛因子的增大，稳定区域减小，而静态屈曲区域和混沌运动参数范围在增大，系统稳定性降低。通过对分叉图及相图分析可得，边界松弛改变了系统颤振特性。

（3）当面内压力增大时，稳定区域减小，而颤振区域在增大，面内压力不利于壁板稳定。

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Non linear dynam ic analysis for a panel's flutter w ith boundary condition relaxation

XIAO Yan-ping1，2，YANG Yi-ren1，YE Lu2
（1.School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China；2.School of Flight Technology，Civil Aviation Flight University of China，Guanghan 618307，China）

A nonlinear dynamic analysis for a panel's flutter with boundary condition relaxation was conducted here.The flutter differential equations of a three-dimensional panel were built by using separation of variables and Galerkin method.The first piston theory was employed to calculate the aerodynamic load on the panel.The flutter boundary and stability for the flat panelwere analyzed.Then，taking temperature，dynamic pressure and in-plane load as bifurcation parameters，their bifurcations and chaos behaviors were studied.The results demonstrated that the rich dynamic behaviors of the panelwith boundary condition relaxation and its complex dynamic characteristicswith variation of bifurcation parameters are revealed；both the buckling region and chaotic region increase with increase in relaxation of boundary conditions and the stability of the system decreases.

panel；flutter；piston theory；boundary condition；bifurcation

V214.3

A

中央高校基本科研业务费专项资金资助（2010Z707）项目；中国民航飞行学院面上项目（J2010－77）

2012－09－28 修改稿收到日期：2013－03－11

肖艳平女，博士生，讲师，1980年生