等强度悬臂梁自振频率计算与实验研究

邱艳宇，赵跃堂，张 虹

(1.解放军理工大学 国防工程学院，南京 210007;2.解放军73833部队，福州 350002)

作为力学实验中常用的教学设备，等强度悬臂梁的应用比较广泛。静态实验如电阻应变片灵敏系数测定、应变组桥实验等，动态实验如动特性与动应力综合性实验［1］、冲击动应力动荷系数及固有频率测试实验［2］。在计算等强度梁固有频率时，常常按照三角形等强度悬臂梁的形状作近似计算。但是，实际使用的等强度梁设备一般都是梯形等强度悬臂梁，这样会使计算结果和实验结果产生较大误差。本文利用瑞利法得到了梯形等强度悬臂梁的解析解，并通过数值仿真和实验结果对该方法进行了验证。

1 理论计算

1.1 梯形等强度悬臂梁模型

以图1所示的梯形等强度悬臂梁为研究对象，其中l2=40.8 cm;l1=16 cm;a=2.5 cm;c=5.5 cm;厚度h=0.6 cm;密度ρ=7.8×103kg·m－3;弹性模量E=2.1×1011Pa;分段建立微分方程。

当x＜l1时，

当l1≤x≤l1+l2时，

图1 梯形等强度梁

求得y1(x)和y2(x)，再根据瑞利法

由此得到图1所示梯形梁的基频近似值为20.69 Hz。

1.2 三角形等强度悬臂梁模型

图2 三角形等强度悬臂梁

三角形等强度悬臂梁尺寸如图2所示。材料、厚度均与图1梯形等强度梁相同，仍用瑞利法求解基频，其中l=l1+l2，则等强度梁的截面宽度为:

横向振动时惯性矩为:

假定振型函数为:

显然该模态满足所有的几何边界条件和力边界条件。

由瑞利法得:

由此得到图2所示三角形梁的基频近似值为36.463 Hz。

2 数值计算

数值计算采用 ANSYS/LS-DYNA软件进行。LS-DYNA是一个非线性动力分析通用有限元程序，可以求解各种线性和非线性结构的动力响应问题。

2.1 梯形等强度悬臂梁模型

为了求解梁的频率和对应的模态，计算选用软件的隐式分析模块。模型的有限元网格共34 620个八节点固体单元，42 574个节点。等截面梁材料模型选用各向同性弹性材料，具体参数为:密度7.8×103kg·m－3;弹性模量2.1×1011Pa;泊松比0.28。数值计算结果如图3所示，得到的基频为20.041 Hz。

2.2 三角形等强度悬臂梁模型

模型的有限元网格共80 941个八节点固体单元，92 842个节点。其他参数同梯形等强度梁。数值计算结果如图4所示，得到的基频为36.438 Hz。

图3 梯形等强度悬臂梁一阶模态计算结果

图4 三角形等强度悬臂梁一阶模态的计算结果

3 实验及结果

3.1 实验系统

利用初位移法使等强度梁产生自由振动，系统的自由振动信号由贴于梁轴线上的应变片获取，再通过东方振动与噪声研究所研制的INV1861应变调理器进行信号调理，最后经过INV3020D信号采集分析仪的A/D转换，信号被DASP V10采集分析软件储存到计算机上。

3.2 实验结果

等强度梁自由振动时程曲线如图5所示，其幅值谱如图6所示。可见，由实验所测到的基频为19.062 Hz。

图5 梯形等强度悬臂梁自由振动时程曲线

图6 幅值谱图

4 结果比较

以上计算和实测的结果如表1所示。由于实际使用的等强度悬臂梁教学设备并不采用三角形截面形式，所以没有实测值。从表中可以看出，由于自由端附加质量的影响，三角形等强度梁基频比梯形梁基频提高较大。

表1 等强度梁基频计算与实测值 Hz

5 结束语

1)对于实际使用的等强度梁教学设备，按照三角形截面计算基频误差很大，必须严格按照梯形截面进行计算。

2)实际测试时，由于悬臂梁的固定边界条件很难准确实现，实测值的误差更大一些。

［1］姚恩涛，胡明敏.应用《理论力学》与《材料力学》知识的实验方案［J］.实验室研究与探索，2003，22(2):13－14.

［2］郭迎福，刘权，张越雷.基于声卡和LabVIEW的等强度悬臂梁固有频率测试［J］.实验室研究与探索，2009，28(11):36－38.

［3］盛宏玉.结构动力学［M］.合肥:合肥工业大学出版社，2005:215－217.

［4］姚恩涛，周克印，董冠强.等强度梁冲击动应力、动荷系数等参数测定装置的研制［J］.实验技术与管理，2003，20(1):28－30.

［5］马功勋，徐郁文.等强度梁动应力测定及分析［J］.理化检验－物理分册，2002，38(8):334－336.

［6］王晓光，饶秋华，李社国.动态特性与动应力综合性实验的研究与实践［J］.力学与实践.2004，26(6):74－76.