“再创造”观点下数学概念的学习方式探析

杜志伟

(东北师范大学数学与统计学院，吉林长春 130024)

1 问题的提出

1.1 数学概念的学习及存在的问题

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式本质特性的一种反映，是人类形象思维和抽象思维共同作用的产物，它具有过程操作和对象结构的二重特性.数学概念的学习是一种复杂的心理活动，是学习者对一类数学对象的本质属性进行概括抽象的过程，其主要方式有概念的形成和概念的同化.在实际教学过程中，若数学概念的学习方式使用不当，往往会出现许多问题，如理解困难，概念记忆短暂以及应用能力差等.波利亚(G.Polya)曾指出:“学习数学最好的途径是去发现.”所以，在实际教学中，教授数学概念最有效的方式就是开展各式各样的探究活动，让学生在经历和发现数学的形成过程的过程中发现概念的内涵与价值，这种经历和发现实质上就是对数学的“再创造”过程［1］.

1.2 “再创造”

“再创造”是由著名的荷兰数学家和数学教育家弗赖登塔尔(Hares Freudenthal)于20世纪70年代提出的，弗赖登塔尔在苏格拉底方法的基础上提出要用“发生”的方法来教数学概念，他认为现在教科书的编排方式就像写数学论文，省略了导致结果的思想过程，而学生又不是数学家，他们对教材究竟要做什么可能一无所知，这往往使他们处于困惑之中，所以教师的任务就是引导学生发现这些结果.弗赖登塔尔认为学习必须含有直接创造的侧面，通过再创造获得的知识与能力要比被动方式获得者理解得更好，也更容易保持.”［2］弗赖登塔尔提出的“再创造”教学理念有着丰富的内涵，概括起来有三点——数学现实、数学化和做数学.

瑞士心理学家皮亚杰(J.Piaget)认为，人的认知发展依靠内因和外因的相互作用，新的认知结构要以原有的认知结构为基础，并与之建立联系，数学的学习同样要考虑学生的基础.数学现实是“再创造”的基础，它不仅包含客观世界的现实情况，也包含学生实际的数学知识结构和解决问题的能力.弗赖登塔尔认为每个学生有各自不同的“数学现实”，数学教师的任务之一是帮助学生构造自己的数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.例如教师在进行函数概念教学时，不仅要考虑学生的数学现实，如初中课本对函数概念的界定，学生目前抽象思维和逻辑思维水平，还要考虑函数的现实情况，即在现实情况中寻找函数概念的雏形和例子.

数学化是“再创造”的手段.弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来研究客观世界的各种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化［3］.吴开朗认为整个数学体系的形成，就是数学化的结果，数学产生与发展，就是一个数学化过程［4］.例如，我们在学习偶函数的概念时，一般都是先观察二次函数f(x)=x2的图象，再归纳偶函数的特征，如果只是看到图象关于y轴对称这个层面，而没有将“图象关于轴y对称”进一步数学化，就很难理解偶函数的定义域中关于原点对称和等式f(x)=f(－x)中“x”的任意性.

“做数学”(doing mathematics)是“再创造”的核心，“再创造”实质上就是“做数学”的过程，伟大的教育家夸美纽斯(Comeenius)曾提出:“教一个活动的最好方法是演示.”弗赖登塔尔在此基础上进行了发展和创新，提出“学一个活动的最好方法是做”，就如我们学习骑自行车、游泳和驾驶，例子和理论都是本本上的东西，学生必须学做这些活动.建构主义的观点认为，知识不是通过教师的传授得到的，而是学习者在一定的情景即社会文化背景下，通过意义的建构得到的.无论是讲授式教学法还是以学生为主的教学法，都十分注重学生去“做数学”，只是前者的“做”是“模仿”，教师告诉学生解题方法，学生只需要根据规则去模仿就行了;而后者的“做”是“探索”，学生不知道方法和结果，这样更容易让学生理解概念，也有利于学生的创新发展.所以，在概念的教学过程中，一定要让学生参与进去，学生在教师开展的一系列活动的帮助下，通过探索、联系、归纳等方法主动建构对新概念的认识，这样才能很好地学习新概念.

数学现实、数学化和“做数学”是“再创造”不可或缺的三个过程，数学现实是基础，数学化是方式，“做数学”是核心，三者相互联系，下面用一个流程图来表示“再创造”的过程:

2 数学概念学习中的“再创造”

数学概念的二重性决定了我们的认知顺序，学习数学概念，一般要从过程操作开始，之后转变为对象的认知过程，最后形成固定的认知结构.实质上，数学概念的学习过程就是学习者主动建构的过程，美国的杜宾斯基将这个过程分成了四个阶段:操作阶段(Action)、过程阶段(Process)、对象阶段(Object)和概型阶段(Scheme).从以上的分析我们不难发现，数学概念的学习是一个过程，在这个过程中需要学生在活动中经历、体验和探索，最后形成自己对概念的认知结构，可以说，数学概念的学习就是学生“再创造”的一个过程.所以，在数学概念的学习过程中要发挥“再创造”的作用，下面介绍两个主要的方式.

2.1 数学活动

新颁布的《义务教育数学课程标准(修订版)》把“基本的数学活动经验”列入数学教学的基本要求之一，教师要向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验［5］，说明活动是学生很重要的一种学习数学方式.

学生的数学活动就是学生在教师指导下开展的以实物、模型、数学语言、数学思想方法为操作工具，以完成某种数学任务为目标，以观、听、说、做、思等形式全面参与的学习数学、应用数学的行为活动、思维活动以及情感活动的活动集合体［6］.概括来说，学生的数学活动就是学生参与的具有数学性、目的性和启发性的行为活动.例如，我们通过切蛋糕活动让学生理解分数和分数的大小，让学生类比指数函数性质的研究方法，通过画图象、观察图象，小组合作探究对数函数的性质等.

在数学概念的学习过程中，学生应该参与什么样的数学活动，以及这些活动应该如何开展呢?总的来说，有效的数学活动要能够让学生“再创造”地形成对新概念的认知结构;细分起来，可以概括为以下几个原则:现实原则、数学化原则和目的性原则.

现实原则要求教师要根据数学内容的现实和学生数学能力的现实选择合适的活动，例如，对于低年级的学生，选择的活动应该侧重于观察、操作和趣味性，像游戏、故事、动手活动等;而对于高年级的学生，应侧重于“问题解决”的活动，像“问题探究”、“探索归纳”、“合作解疑”等.数学化原则是数学活动和其他活动的本质区别，它要求数学活动要体现数学的思想和方法，建立现实问题与数学问题的联系，例如，在学习全等三角形的概念时，教师可以让学生在一张折叠的纸上剪出任意一个三角形，学生会发现得到的是两个完全重合的三角形，之后就是教师数学化的过程了:一是这种“重合”在数学上叫做全等，二是通过重合去发现全等三角形的性质，对应边和对应角相等.目的性原则是指数学活动要完成一定的教学目标，包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，没有目标指导的数学活动是低效的.例如，教师让学生在课堂进行掷硬币实验来学习“概率”与“频率”的关系，这样既会浪费大量时间，又不一定能达到教学效果，相反，教师可以让学生在课前完成这个实验，或者教师在课堂用计算机程序来模拟实验过程和结果.所以，教师在选择数学活动时，一定要思考“在特定的环境下这样的活动能体现教学目标吗，如何达到更好的效果”等问题.

2.2 HPM 的应用

HPM是“数学史与数学教学关系国际研究小组”(International Study Group on the Relationship between History and Pedagogy of Mathematics)的缩写，但现实中又常常被理解为“数学史向数学教学的渗透”［7］.目前该领域的研究者们达成了一定的共识:(l)数学史激发学生的兴趣，改变学生的数学观;(2)数学史使数学人性化;(3)数学家遇到的困难和挫折同样会为课堂上的学生所经历;(4)学生学习数学的认知过程与数学史的发展过程相似;(5)数学史帮助学生理解和欣赏数学等［8］.弗赖登塔尔也曾指出:儿童无需重蹈人类的历史，但他们也不可能从前人止步的地方开始，从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史.根据“个体发展重复律”，即“个体的发展往往重复种族发展的历史”，所以，在数学概念的学习中要适当运用数学史，而且要“再创造”地使用.

“再创造”是弗赖登塔尔重要的数学教育思想，在实际的数学教育教学中具有着重要的理论价值和实践价值，尤其是在数学概念和定理的教学和学习中.在实际的教学过程中适当运用“再创造”思想，不仅能使学生很好的理解数学概念，让“冰冷的美丽”转变为“火热的思考”，而且还能陶冶学生的情操，提高学生学习数学的兴趣、培养学生学习数学的习惯.

［1］罗洁.数学概念的原生态教学［J］.中国教育技术装备，2011(8):70－71.

［2］弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，译.上海:上海教育出版社，1995.

［3］王铮.“再创造”教学法在数学概念教学中的研究［D］.苏州:苏州大学，2011.

［4］吴开朗，朱茱，许梦日.论汉斯·弗赖登塔尔的数学教育观［J］.数学教育学报，1995，4(3):18－21.

［5］连珂.数学教学活动·数学活动·数学活动课程——数学活动的再认识［J］.新乡教育学院学报，2005，18(1):112－117.

［6］仲秀英.数学活动的内涵与特征及其对教学的启示［J］.数学教育学报，2009，18(4):23－26.

［7］郑玮，郑毓信.HPM 与数学教学中的“再创造”［J］.数学教育学报，2013，22(3):5 －7.

［8］杨渭清.HPM视野下的数学教育［J］.西安文理学院学报，2010，13(3):125－128.

［9］洪万生.数学与叙事在教育上的应用:以通识教育和HPM为例［J］.HPM通讯，2009，12(11):1－11.