中心对称量子态的量子失协
2014-05-11
(上饶师范学院，江西 上饶 334001)
引言
量子失协是比量子纠缠更广泛的一类量子关联。在量子信息、量子计量、凝聚态物理等学科中有重要应用[1,2]。计算量子失协是一个比较困难的问题，即使一个一般的两比特量子系统也没有一个完整的解析公式。已有的结果包括诸如限制在著名的“Χ”态等。“Χ”态是一个4×4的只有对角线和反对角线上存在非零值的密度矩阵。文[3,4]介绍了它的代数性质和关于量子失协解析公式的相关结果。“Χ”态密度矩阵包含了许多有名的量子态，诸如Bell对角态，Werner态，Isotropic态等等。n×n中心对称态密度矩阵满足：aij=an-i+1,n-j+1。在本文中我们通过局域正交变换建立中心对称态和“Χ”态之间的联系，得到了中心对称态密度矩阵的量子失协的解析公式。
1 中心对称态和“Χ”态密度算子
量子力学中密度算子必须是厄米、非负并且迹为1的一个方阵。一个一般的4×4中心对称态记为
(1)
其中p1，…，p7为参数。对双量子比特“Χ”态，我们有
(2)
其中q1，…，q7为实参数，考虑如下双Hadamard变换
(3)
(4)
为Hadamard变换。矩阵R为实对称正交阵。
由(1)-(3)我们有如下关系：
H⊗HρcH⊗H=ρx
(5)
且
H⊗HρxH⊗H=ρc
(6)
这里它们之间的矩阵元素有如下关系
Imp14=-Imp41=q5=-p3-p5,
Imp23=-Imp32=q7=-p3-p5
(7)
反之，
(8)
将ρc用Pauli矩阵展开可得
(9)
对ρc实行Hadamard变换可得
(10)
事实上，由ρx的Bloch表示，我们有
〔1-2(q2+q3)〕σz⊗σz-2(q5-q7)σx⊗σx-2(q5+q7)σy⊗σx}
(11)
因此，我们有中心对称态的量子失协可以转化为Χ态的量子失协
Q(ρc)=Q(ρx)
(12)
2 物理解释
考虑各向异性Dzyaloshinsky-Moriya 相互作用XXZ模型。当Dzyaloshinsky向量D为X方向时，双量子比特的哈密顿量为
(13)
(14)
由(14)知矩阵为中心对称矩阵，注意到，中心对称矩阵的和与积还是中心对称矩阵，因此，相应的吉布斯密度矩阵也是中心对称的。即该模型量子失协是可计算的。
考虑NMR(核磁共振，nuclear magnetic resonance)自旋分子或者原子对量子关联的演化。相应的密度算子为：
(15)
这是一个中心对称矩阵，其中
(16)
这里N为粒子数，a为耦合常数，β为转换温度。文[7]计算了该模型当p=u=0和q=r时的量子失协，应用这个方法执行Hadamard变换，则矩阵有如下Χ态的结构
(17)
写成Bloch形式为：
(18)
对上式施行局域酉变换消除‘xy’交叉项，使得密度矩阵化简为实Χ型。即
(19)
(20)
由Χ态量子失协的计算方法，我们得到Q=min{Q1,Q2}
(21)
这里
(22)
Q2=Sr-S-D1log2D1-D2log2D2,
(23)
(24)
在方程(22)和(23)中，S,Sr分别表示密度矩阵的熵，其中
(25)
这里λj为密度矩阵的本征值
(26)
(27)
考虑如下(PP)态
(28)
这里|Ψ〉为任意2量子比特纯态，I为密度算子，且概率α∈〔0,1〕这个态在(NMR)核磁共振量子计算中作为一个可能的资源，容易验证
〈Ψ|=α(|00〉+|11〉)+b(|01〉+|10〉)
(29)
(|a|2+|b|2=1/2,且{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉为计算标准正交基})，这个态ppp满足中心对称态的条件，因此可以利用上面的性质计算量子失协。
3 结论
我们通过局域正交变换建立了中心对称态和Χ型矩阵的联系。由此推出了中心对称态可计算的量子失协计算公式和方法，并且讨论了中心对称态在各种物理系统中的应用。
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