基于等风险的抽样检验方案

田 英，蒋仁言

抽样检验是指从一批产品或过程中随机抽取部分样本进行检验，并将检验结果与判断标准比较，进而决定该批产品是否接收的活动。其中，抽取的样本量和有关批判断准则的组合为抽样检验方案，简称抽检方案。抽样检验是通过样本来判别总体的，难免会将合格的产品批错判为不合格，导致整批拒收，其概率α称为生产方风险；或将不合格的产品批错判为合格，导致整批接收，其概率β称为使用方风险。因此，在确定抽检方案前，生产方和使用方应共同协商，合理确定两类风险的大小，以及产品批的接收质量水平（Acceptable Quality Level，简称为AQL）与拒收质量水平（Rejectable Quality Level，简称为RQL），以保护双方利益。

抽检方案对产品优劣的判别能力可用接受概率来衡量。接收概率是指根据规定的抽检方案，把具有给定质量水平的检验批判为接收的概率，它是关于批质量指标（如：不合格品率p、平均值μ）的函数，这个函数称为抽样特性函数（Operating Characteristic Function，简称为OC函数）；如果以质量指标为横坐标，接收概率为纵坐标，由两者之间关系作的曲线为抽样特性曲线（Operating Characteristic Curve，简称为OC曲线）。抽样检验依据检验批的质量指标及其质量特性分为计数型和计量型两类。美国贝尔实验室的道奇（Dodge）和罗米格（Roming）是抽样检验的创始人，他们把数理统计引入到质量管理领域。针对计数型抽样检验，道奇的抽样理论提出了两类风险和两个质量水平的概念。随后，很多文献［1－3］应用统计抽样检验理论，由事先确定的4个参数，把（AQL，1－α）和（RQL，β）作为OC曲线上的两个约束点来设计抽检方案。但在生产实践中，这些参数多数是根据产品过程质量的先验信息或产品的质量要求来确定的，很难获得精确值。Tong［4］等人应用模糊超几何分布和模糊泊松分布，设计了模糊抽检方案，以解决参数不精确和模糊的问题。Jiang［5］对参数确定时存在主观性，引起不公平情况，提出了等风险方法，并应用二项分布模型，确定了计数型抽检方案。然而，用二项分布模型，相当于每次抽样后把样本放回总体中去，但这只有在样本量远远小于批量时，误差才可以忽略。而生产中，小批量的情况并不罕见，样本不可能远远小于批量，因此二项分布模型不精确。

作者拟应用等风险方法，通过确定等风险质量水平和平均风险两个参数，设计基于超几何分布模型的一次计数型和基于正态分布模型的计量型抽检方案。并通过实例，分析等风险方法与传统方法的联系与区别。

1 传统抽样检验方法

1.1 计数标准型一次抽样检验方案

1.1.1 原理及参数设定

计数型抽样检验是把样本中的每个产品分为合格品和不合格品，并与抽检方案中的不合格品的判定数对比，判断批是否接收。设批接收概率为L（p），给定AQLp0，RQLp1，α及β。抽检方案满足：当产品质量较好时（p ≤p0），以高概率（L（p）＝1－α）判为接收；当产品质量较差时（p≥p1），以低概率（L（p）＝β）判为接收；当产品质量变坏时（p0≤p≤p1），接收概率应迅速减少，其OC曲线如图1所示。

图1 计数标准型一次抽样检验方案的OC曲线Fig.1 The OC curve of single sampling for having desired plan by attributes

α和β作为选取p0，p1的标准，通常取10%（国家标准中α＝0.05，β＝0.1）；p0，p1则由供需双方协商确定。先根据参照法、反推法、计算法、归纳分类法、过程平均法及损益平衡点等方法确定。再依据p0确定相应p1，若p1／p0过小，会增加抽检样本量，使费用增加。为此，p1与p0需拉开一定距离。但p1／p0过大，又会放松对质量的要求，对使用方不利。当α＝0.05，β＝0.1时，国际电工委员会推荐（IEC）p1为p0的1.5倍，2倍或3倍［7］，也有国家推荐p1为p0的4～10倍［8］。

1.1.2 计数型数学模型

从批量为N的产品中随机抽取容量为n的样本进行检验，通过样本中不合格数x来判定该批是否合格。当x≤c时，接收该批产品；当x＞c时，则拒收。抽检方案的确定，实际就是（n，c）的确定。采用“不放回”式随机抽样，样本中不合格数为x（0≤x≤c）的概率服从超几何分布，批接收概率［7］为：

依据设计原理和给定的参数，可通过解不等式组确定抽检方案（n，c）：

当N 很大、而n相对较小（N≥10n）时，N 对OC函数的影响很小，即：可将“不放回”抽样近似为“放回”抽样，超几何分布可用二项分布近似表示为：

抽检方案可由公式确定：

代数方程组（2）和（4）均为非线性超越方程，其解n和c必须是非负整数。假若参数取值不合理，则方程组收敛性较差或不能收敛，使抽检方案不合理。因此，需采用数学逼近法［2］、试算法［5］或用软件仿真求解［9］。

1.2 计量一次抽样检验方案

1.2.1 特点及原理

计量型抽样检验是通过测量样本的质量特性值并与判断标准进行比较，进而推断整批产品是否接受。其产品质量特性值能用连续尺度来度量，服从正态分布，它常以批中所有单位产品特性值的平均值μ表示批质量。根据产品质量的要求，有的要求μ越大越好，即质量特性有下规格限；有的要求μ越小越好，即质量特性有上规格限；有的规定了质量特性的双侧规格限。以下规格限情况为例进行讨论。给定AQLμ0，RQLμ1（μ0＞μ1），α及β。抽检方案需满足：当产品质量较好时（μ≥μ0），以高概率（1－α）判为接收；当产品质量较差时（μ≤μ1），以低概率（β）判为接收。

1.2.2 计量型正态分布模型

设计此类抽检方案，首先需确定参数μ0，μ1，α，β，其参数确定存在的问题与计数型类似。

假设产品质量特性值X服从正态分布N（μ，σ2），从被检批中抽取一个容量为n的样本检验，样本质量特性值为X1，X2，…，Xn，其均值为X，则X ～N（μ，σ2／n），可定一个 K 值。当 X≥K时，接收该批产品；否则，拒收。则抽检方案为（n，K）。根据正态分布的性质，σ已知，则批接收概率［7］为：

式中：Φ（·）为标准正态分布的分布函数。

根据计量抽样检验设计原理，其抽检方案必须满足：

整理得：

式中：Φ－1（·）是标准正态分布函数Φ（·）的反函数，给定4个参数，由式（7）可得抽检方案（n，K），其中n要选择圆整后能使相对约束点误差最小的整数。

2 等风险方法

等风险方法是通过确定供应方与使用方风险相等时的质量水平即等风险质量，和限制供应方或使用方的平均风险来设计抽检方案，以得到公平可靠的方案。

2.1 计数型等风险方法

2.1.1 设计原理

供需双方协商确定等风险质量p0.5，使批接收概率L（p0.5）＝0.5，即

可得不同接收数ci时的样本量n0.5（ci）。由供应方风险r（p）＝1－L（p），可求得供应方平均风险为：

根据抽样检验的宽严程度，给α0.5设定一个极限值γ，使α0.5≤γ，则能得到满足要求的抽样方案（n，c）。等风险方案的参数与OC曲线的关系如图2所示。

图2 计数型等风险抽样方案的OC曲线Fig.2 The OC curve of equal－risk sampling plan by attributes

2.1.2 确定抽样方案

等风险法抽检方案可在Microsoft Excel（2010版）中通过相关函数运算求得，其求解步骤为：

1）给定p0.5和γ，求ni。依次取ci＝i和对应的任意样本量ni（i＝0，1，…，10），由函数 HYPGEOM.DIST求出相应L（p0.5）；根据“规划求解”，使（L（p0.5）－0.5）2最小，得满足式（8）的ni；再由取整函数INT（ni＋0.5）对ni取整得n0.5（ci）。

2）求α0.5。把（n0.5（ci），ci）代入式（9），采用梯形法求定积分，令图2阴影部分曲边梯形面积为S，把区间［0，p0.5］分为k个小区间，每区间宽为p0.5／k，每个小曲边梯形面积近似为：Si≈（i ＝ 1，2，Si。k的取值，可根据α0.5精度要求选取，如：k＝1 000，步长为p0.5／1 000，α0.5的精度在0.001以上。

3）根据α0.5≤γ，求抽检方案。部分p0.5的抽检方案和平均风险见表1。由表1可知，如果批量N＝3 000，给定参数p0.5＝0.03，γ＝0.15，知α0.5＝0.143 4，c＝4，n0.5（c）＝155满足要求，即抽检方案为（155，4）。

表1 以p0.5、n和c为函数的平均风险（N ＝3 000）Table 1 Mean risks as functions of p0.5，nand c（N ＝3 000）

实例1某电子仪器厂与协作的电容器厂商定，当电容器厂提供产品的不合格品率不超过3%时，以高于95%的概率接收；当不合格品率超过12%时，将以低于10%的概率接收［8］。假定产品批量N＝1 000，试制定抽检方案。

传统方法：依题意，应用超几何分布模型，把给定参数代入方程式（2），在Excel中试算得抽检方案（66，4）。又由于1 000＞10×66，则误差可忽略，由二项分布模型，把参数代入方程式（4），试算得最优抽检方案（66，4）。该方案双方实际风险为α＝0.042，β＝0.083，可知其OC曲线没有精确通过所约束的两点。

等风险方法：由双方协商确定p0.5。如果传统参数合理，可由方案（66，4）得L（7%）＝0.5，则定p0.5＝7%。不同宽严程度（不同α0.5）时的抽检方案见表2。当平均风险α0.5＝0.139时，所求结果和传统法一致，说明等风险法合理。供需双方在确定α0.5时，可根据表2中α和β的大小选取。如果β需在0.04～0.12的范围时，α0.5可取0.12～0.16的值。

表2 等风险法抽检方案Table 2 Sampling inspection plan of equal－risk method

2.2 计量型等风险法

2.2.1 设计原理

供应方和使用方共同协商确定等风险质量μ0.5，使其满足L（μ0.5）＝0.5，即：

由式（10）得 K＝μ0.5，则对于抽检方案（n，K），只需求样本量n。

对于任意（n，μ0.5），根据 OC函数，可求供应方或使用方的平均风险α0.5，然后，由抽检的宽严程度对α0.5设一个约束γ，使α0.5＝γ来求抽检方案。由于不同产品批μ值的差异较大，为了保证α0.5的精度，只求区间［μ0.5，μ0.5＋σ］的平均风险α0.5，如图3所示。

图3 计量型等风险方案的OC曲线Fig.3 The OC curve of equal－risk sampling plan by variables

2.2.2 确定抽样方案

等风险计量抽样检验方案的设计在Excel中具体操作步骤为：

1）双方协商确定μ0.5和γ，选择大体符合要求的样本量n′。

2）根据式（12），由梯形法求（n′，μ0.5）的平均风险α0.5。

3）优化n′。在“规划求解”中设立目标值α0.5＝γ，变量为n′，可得样本量n。

案例2有一批产品做寿命试验，假设产品寿命X 服从N（μ，σ2）。已知寿命标准差σ＝20h，供需双方协定μ0＝1 020h，μ1＝1 000h，α＝0.05，β＝0.1，试确定抽检方案［10］。

传统方法：根据题意把给定参数代入式（7），得n≈8.56，K≈1 008.8，对n取整，得抽检方案（9，1 008.8），则质量为μ0和μ1的实际风险α＝0.047，β＝0.093，可知其OC曲线实际没有精确通过所约束的两点。

等风险法：经双方协商，要求产品的平均寿命为1 010h，即μ0.5＝1 010h，不同宽严程度（平均风险）时抽检方案的参数见表3。且当α0.5＝0.133时，抽检方案（9，1 010）与传统法最接近，此时质量为μ0和μ1的实际风险α＝β＝0.067。供需双方在确定α0.5时，可选择α和β在0.04～0.1的范围的α0.5，即α0.5可取0.12～0.15，见表3。

表3 等风险法抽检方案Table 3 Sampling inspection plan of equal－risk approach

3 联系与区别

传统方法是通过事先确定两个点的风险作为约束条件求抽检方案，但由于n，c必须为非负整数，因此，OC曲线实际不会精确通过那两点；而平均风险法则通过控制区间平均风险，它避免了定义两个点，而且一方平均风险定出后，另一方也相应确定，能保证方案公平可靠，过程更简单。

由传统方法给定的4个参数可得抽检方案，而每个抽检方案都有其相应的OC曲线，则可求得等风险质量和平均风险。而由等风险法参数求得抽检方案后不能直接得到4个参数，只有给定α、β或AQL、RQL作为标准求其他两个参数。用两种方法对同一待检批求得的两个抽检方案，在相同AQL和RQL下，如果传统方案和等风险方案风险分别为α、β和α′、β′，由风险变化可知传统方案的利益偏向：当α＝α′、β＝β′表明利益一致；当α＜α′、β＞β′偏向供应方；当α＞α′、β＜β′偏向使用方。如例2，传统方案（9，1 008.8）和等风险方案（9，1 010）的风险0.047＜0.067，0.093＞0.067，可知传统方案偏向供应方。

4 结论

运用等风险方法设计了服从超几何分布模型的一次计数型和服从正态分布模型的一次计量型抽检方案。该方法是基于供应方和使用方风险相等时的质量水平和供应方的平均风险两个参数来设计抽样方案，它较传统方法减少了参数设定的个数，简化了参数设定过程；避免定义OC曲线本来就很难经过的两点，改进了传统方法中参数确定存在主观性而导致的不公平性和双方矛盾，使抽检方案更可靠。等风险法是一种新型抽检方案设计方法，期待能为供需双方更好的实现双赢。

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