递推数列的特征方程法探究

蔡军军

数列问题在高考中有着非常重要的地位，其中数列求通项公式，通常作为各省市的高考压轴题出现。而递推数列的通项公式求解，往往令师生最为头疼。那么，什么是递推数列，包含哪些类型.一般而言，数列求通项公式，都有哪些方法策略？下面，我对这几方面做些研究、探索不足之处，敬请同行批评指正。

一、递推数列的分类

递推数列，顾名思义是指可以通过递推找出其规律的数列。用通俗的一句话来解释“递推”就是：知道他的过去，就知道他的现在.知道他的过去和现在，就知道他的将来。

根据递推式不同，一般可将递推数列分为以下4类：

■

二、递推数列的特征方程法引理

（一）一阶线性递推数列

引理1.已知数列{an}满足a1=b，an+1=pan+q（p≠0且p≠1，p，q是常数），称方程x=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x0，则①当x0=a1时，数列{an}为常数列；②当x0≠a1时，数列{an-x0}是以p（p≠0）为公比的等比数列.

简证：设特征方程x=px+q，得根为x0=■，

又an+1=pan+q （1）x0=px0+q （2），由（1）-（2）得，an+1-x0=p（an-x0），

若a1=x0=■，则a1=a2=a3=……=an=■，即数列{an}为常数列；

若a1≠x0，则■=■=p（非零常数），即数列{an-x0}是以p为公比的等比数列，证毕。

（二）二阶线性递推数列

引理2.已知数列{an}满足an+2=pan+1+qan（p≠1，p，q是常数），a1=a，a2=b，称方程x2=px+q为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。则①当x1≠x2时，数列{an}的通项为an=c1x1n+c2x2n，其中c1，c2由初始值决定；②当x1=x2时，数列{an}的通项为an=（c1+c2n）x1n，其中c1，c2由初始值决定。

简证：设特征方程x2=px+q有两个根为x1，x2，则

x1+x2=px1·x2=-q，故由an+2=pan+1+qan得，an+2=（x1+x2）an+1-（x1·x2）an，

即an+2-x1an+1=x2（an+1-x1an）。所以，an-x1an-1=x2（an-1-x1an-2）

利用迭代得：

an-x1an-1=x2（an-1-x1an-2）所以an-x1an-1=x2n-2（a2-x1a1）

=x22（an-2-x1an-3） ■=■

=……

=x2n-2（a2-x1a1） 即■-■=■（a2-x1a1）

再次利用迭代得：

■=■+■（a2-x1a1）

=■+■（a2-x1a1）+■（a2-x1a1）

=……

=■+（a2-x1a1）（■+■+■+……+■）

若x1≠x2，则■=■+（a2-x1a1）■

整理得，an=■x1n+■x2n

设c1=■，c2=■，则an=c1x1n+c2x2n。

若x1=x2，则由■=■+（a2-x1a1）（■+■+■+……+■）得，

an=[（■+x1a1-a2）+（a2-x1a1）n]x1n

设c1=■+x1a1-a2，c2=a2-x1a1，an=（c1+c2n）x1n，证毕。

（三）一次分式递推数列

引理3.已知数列{an}满足an+1=■（p，q，r，h∈R，且ph≠qr，r≠0，a1≠-■），则称方程x=■为数列{an}的特征方程，设特征方程的根为x1，x2。则①当x1≠x2且x1≠a1时，则数列{■}为等比数列.②当x1=x2时，若a1=x1，则数列{an}为常数列；若a1≠x1，则数列{■}为等差数列。

简证：设特征方程x=■有两个根为x1，x2，

特征方程整理为rx2+（h-p）x-q=0，故x1+x2=■x1x2=-■

当x1≠x2且x1≠a1时，不妨设■=k■（其中k为待定系数）

由■=k■，解得：an+1=■

与an+1=■比较可得：

x1-kx2=p，（k-1）x1x2=q，1-k=r，kx1-x2=h

上面四个等式再结合x1+x2=■x1x2=-■进行验证，得出结论是正确的。

所以■=k■是存在的，并且k=1-r。

所以，当x1≠x2且x1≠a1时，则数列{■}为等比数列得证。

同理易证当x1=x2时，若a1=x1，则数列{an}为常数列；

若a1≠x1，则数列{■}为等差数列.

（四）二元一阶线性递推数列

引理4.已知数列{an}，{bn}满足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn，则数列{an}，{bn}的通项公式求解，可转化为二阶线性递推数列来进行通项公式的求解。

简证：由于an+2=pan+1+qbn+1

=pan+1+q（ran+hbn）

=pan+1+q（ran+h■）

=（p+h）an+1+（qr-hp）an

同理，bn+2=（p+h）bn+1+（qr-hp）bn

所以，二元一阶线性递推数列可转化为二阶线性递推数列解决。

三、递推数列在高考中的考查

递推数列综合性试题，频繁出现在高考压轴题的位置。譬如下面几道数列高考题，可用特征方程解答：

题目1.（2008年广东文）设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn=nanbn（b=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn。

解：（1）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目2.（2009年陕西文）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式。

解：（2）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目3.（2008年陕西理）已知数列{an}的首项a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：对任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）证明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）问中，一次分式递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■解得：等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■，从而解出an=■。

题目4.（2009年江西理）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q，都有■=■。

（1）当a=■，b=■时，求通项an；

（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■将a1=■，a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列，

其特征方程为x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■，得等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，从而解出an=■。

通过上面4个高考题目，可以看出，特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生，也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况，有选择地教会学生使用特征方程法，解决相关数列问题，一定能使学生获益匪浅，决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略，在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理，归纳主要有如下几种类型及应对的策略：

■

关于如何求解数列求通项公式问题，并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考，否则事倍功半.万变不离其宗，还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列（an+1-an=d）和等比数列（■=q）两种常规数列，那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢？其实，条件满足形如an+1-an=f（n）的数列不就是等差数列的广义形式吗？而■=f（n）亦是等比数列的广义形式。回头反思一下，上面的各种求解数列通项公式的方法，无不是通过各种技巧进行构造变换，再转化为an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平时的教学过程中，我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想，而不是简单的一两种技巧性的东西.这样，学生才能在面对各种数列求通项公式问题时，做到游刃有余，事半功倍。（责任编辑：张华伟）

题目1.（2008年广东文）设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn=nanbn（b=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn。

解：（1）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目2.（2009年陕西文）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式。

解：（2）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目3.（2008年陕西理）已知数列{an}的首项a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：对任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）证明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）问中，一次分式递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■解得：等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■，从而解出an=■。

题目4.（2009年江西理）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q，都有■=■。

（1）当a=■，b=■时，求通项an；

（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■将a1=■，a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列，

其特征方程为x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■，得等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，从而解出an=■。

通过上面4个高考题目，可以看出，特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生，也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况，有选择地教会学生使用特征方程法，解决相关数列问题，一定能使学生获益匪浅，决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略，在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理，归纳主要有如下几种类型及应对的策略：

■

关于如何求解数列求通项公式问题，并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考，否则事倍功半.万变不离其宗，还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列（an+1-an=d）和等比数列（■=q）两种常规数列，那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢？其实，条件满足形如an+1-an=f（n）的数列不就是等差数列的广义形式吗？而■=f（n）亦是等比数列的广义形式。回头反思一下，上面的各种求解数列通项公式的方法，无不是通过各种技巧进行构造变换，再转化为an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平时的教学过程中，我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想，而不是简单的一两种技巧性的东西.这样，学生才能在面对各种数列求通项公式问题时，做到游刃有余，事半功倍。（责任编辑：张华伟）

题目1.（2008年广东文）设数列{an}满足a1=1，a2=2，an=■（an-1+2an-2）（n=3，4，…）。数列{bn}满足b1=1，bn（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）记cn=nanbn（b=1，2，…），求数列{cn}的前n项和Sn。

解：（1）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2-■x-■=0，解得特征根x1=1，x2=-■，

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目2.（2009年陕西文）已知数列{an}满足，a1=1，a2=2，an+2=■，n∈N*。

（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式。

解：（2）问中，二阶线性递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x2=■，

解得特征根x1=1，x2=-■

故可设an=c1x1n+c2x2n=c1+c2（-■）n

再由a1=1，a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2，

所以c1=■，c2=■。

所以an=■+■（-■）n。

题目3.（2008年陕西理）已知数列{an}的首项a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（1）求{an}的通项公式；

（2）证明：对任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（3）证明：a1+a2+…+an>■。

解：（1）问中，一次分式递推数列{an}通项公式的求解：

数列{an}的特征方程为x=■，

解得特征根x1=1，x2=0，

所以数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■解得：等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■，从而解出an=■。

题目4.（2009年江西理）各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q，都有■=■。

（1）当a=■，b=■时，求通项an；

（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数a，都有■≤an≤λ。

解：（1）由■=■得

■=■将a1=■，a2=■代入化简得an=■。

所以数列{an}为一次分式递推数列，

其特征方程为x=■，

求解出特征根是x1=1，x2=-1，

故数列{■}为等比数列。

再由a1=■，a2=■，得等比数列{■}的首项是-■，公比是■，

所以■=-■·■=-（■）n，从而解出an=■。

通过上面4个高考题目，可以看出，特征方程法用于求解递推数列的通项公式非常简便。不论什么样基础的学生，也完全可以用该方法解决高考中相对较难的递推数列压轴题.若能结合实际情况，有选择地教会学生使用特征方程法，解决相关数列问题，一定能使学生获益匪浅，决胜高考。

四、数列求通项公式之想法

关于数列求通项公式的方法、策略，在各类数学教育杂志上层出不穷.笔者整理，归纳主要有如下几种类型及应对的策略：

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关于如何求解数列求通项公式问题，并不能穷尽所有方法。高三复习也不应该采取题海战术来应对高考，否则事倍功半.万变不离其宗，还是应引导学生回归概念。教材当中只介绍了等差数列（an+1-an=d）和等比数列（■=q）两种常规数列，那么为什么没介绍其他方法来求解非常规数列问题呢？其实，条件满足形如an+1-an=f（n）的数列不就是等差数列的广义形式吗？而■=f（n）亦是等比数列的广义形式。回头反思一下，上面的各种求解数列通项公式的方法，无不是通过各种技巧进行构造变换，再转化为an+1-an=f（n）或■=f（n）的形式，最终化归为等差数列或等比数列来求解通项公式。正是应了李邦河院士那句名言：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！所以，在平时的教学过程中，我们更应该教给学生解决求通项公式的一种思想，而不是简单的一两种技巧性的东西.这样，学生才能在面对各种数列求通项公式问题时，做到游刃有余，事半功倍。（责任编辑：张华伟）