例谈圆锥曲线离心率的求法

刘艳英

摘 要：求圆锥曲线的离心率是解析几何中一类常见的问题，在高考中又常以选择或填空题的形式出现。

关键词：圆锥曲线；离心率

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）04-385-01

求圆锥曲线的离心率是解析几何中一类常见的问题，在高考中又常以选择或填空题的形式出现。这类问题涉及多个知识点，综合性、技巧性较强，方法灵活，是学生难以解决的一类问题。现结合例题介绍几种方法供参考。

一、记准定义，准确应用

离心率定义： .

【例1】（09浙江）已知椭圆 （a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥X轴，直线AB交Y轴于P点，若 则椭圆的离心率为（ ）

A B C D

解析：设O为原点，由题意知BP∥Y轴，结合图形有 ，所以离心率e= = 选D

二、活用性质，简化计算

准确把握并熟练应用圆锥曲线的几何性质解题可提高解题速度，快速解决选择、填空题。

【例2】（09湖南）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为60°，则双曲线的离心率为__。

解析：由双曲线的对称性知 ，所以 即c2=3b2=a2+b2，所以a2=2b2，即 从而离心率

三、熟记结论，快速解题

一个常用结论：在圆锥曲线中过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的直线与圆锥曲线的两个交点之间的线段称为圆锥曲线的通径，通径的长为

【例3】已知椭圆 （a>b>0）过椭圆的右焦点作X轴的垂线交椭圆于A，B两点，若 ，则椭圆的离心率 为（ ）

A B C D

解析：由已知得线段AB为通径， 又 ，则∠AOB=90°，结合椭圆的对称性与特殊三角形的性质知 ，即 两边除以 整理得 因为0

四、合理转化，认真计算

分析条件，由已知写出对应的数学符号关系式，即把条件中的文字语言转化为数学式子，从而得a，c的方程计算出e.

【例4】（09浙江）过双曲线 （a>0，b>0）的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若 ，则双曲线的离心率是（ ）

A B C D

解析：双曲线的两条渐近线方程为 ，过A点的直线方程为y=-x+a，由 解得B点的纵坐标为 ；由 解得C点的纵坐标为 ，又 ，则 ，整理得b=2a，所以b2=4a2则c2-a2=4a2，所以 ，选C

五、巧取特值，化繁为简

根据选择、填空题不需要解答过程只需有正确的结果的特点，据题意取特值是一种快速解题的方法。

【例5】如果双曲线的焦距，虚轴长，实轴长成等差数列，则双曲线的离心率为__。

解析：设双曲线的焦距为2c，虚轴长2b，实轴长2a，且满足c2=a2+b2，所以（2c）2=（2a）2+（2b）2，根据特殊勾股关系，不妨设焦距2c=5，虚轴长2b=4，实轴长2a=3，则离心率

通过以上几例不难得出解决圆锥曲线的离心率问题的关键是由题意找到a，c的关系式或方程。具体解决时再根据选择，填空题的自身特点灵活选择方法，快速解答。