分式函数值域解法探析

汤启明

函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想、数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图像.而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一.为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨.

类型一 y=cx+dax+b（a≠0）型

例1 求函数y=2-3x2x-1的值域.

解法一 常数分离法.将y=cx+dax+b转化为y=k1+k2ax+b（k1，k2为常数），则y≠k1.

解 ∵ y=2-3x2x-1=-32+12（2x-1），

∴ 函数y=2-3x2x-1的值域为y|y≠-32.

解法二 反函数法.利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.

解 反解y=2-3x2x-1得x=2+y2y+3，

∴2y+3≠0.

∴函数y=2-3x2x-1的值域为y|y≠-32.

类型二 y=csinx+dasinx+b（a≠0）型

分析 这是一道含三角函数的一次分式函数题，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名，可以考虑借助三角函数值域解题.即：将y=csinx+dasinx+b反解得sinx=f（y），而-1≤sinx≤1，即-1≤f（y）≤1，解之即可.

例2 求函数y=sinx+22-sinx的值域.

解 由y=sinx+22-sinx得sinx=2y-2y+1.

∵ -1≤sinx≤1，

∴ -1≤2y-2y+1≤1，解之得13≤y≤3.

∴ 函数y=sinx+22-sinx的值域为y13≤y≤3.

类型三 y=csinx+dacosx+b或y=ccosx+dasinx+b （a≠0）型

分析 这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法.即：去分母以后，利用叠加公式和sinx≤1解题.

例3 求函数y=3sinx+32cosx+10的值域.

解 ∵ 2cosx+10≠0，∴ 3sinx-2ycosx=10y+3.

∴ 9+4y2sin（x-φ）=10y+3，其中tanφ=2y3.

由sin（x-φ）=10y+39+4y2和sin（x-φ）≤1，

得10y+39+4y2≤1，

∴ （10y+3）2≤9+4y2，整理得8y2+5y≤0.

∴ -58≤y≤0， 即原函数的值域为-58，0.

类型四 y=dx2+ex+fax2+bx+c （a，d不同时为0），x∈R型

分析 去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f（x）=0.由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，Δ≥0（f（y）≥0），解该不等式便可求出原函数的值域.即：用判别式法.先去分母，得到含参数y的二次方程f（x）=0，根据判别式Δ≥0（Δ=f（y）），即可求出值域.

例4 求函数y=3xx2+4的值域.

解 由y=3xx2+4得yx2-3x+4y=0.

当y=0时，x=0，当y≠0时，由Δ≥0得-34≤y≤34.

∵ 函数定义域为R，

∴ 函数y=3xx2+4的值域为-34，34.

说明 判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域.

类型五 y=dx2+ex+fax+b（a，d不同时为0），指定的区间上求值域型

例5 求y=16x2-21x+55-4xx<54的值域.

分析 因为x<54，所以若用判别式法，可能会放大其值域，可以考虑使用均值定理解题.

解 ∵ x<54，∴ 5-4x>0，15-4x>0.

∴ y=16x2-21x+55-4x=（1-4x）+15-4x=（5-4x）+15-4x-4≥2（5-4x）15-4x-4=-2.

∴ 原函数的值域为-2，+∞.

总结 不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围.虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对同一类题才可以用通解通法.若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁.故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果.