论复变函数与积分变换在电学中的作用

【摘要】复变函数与积分变换是电学专业理论分析的基础工具，在电学专业中对于系统状态的分析、频率的分析、场的分析以及图像信号处理等起到了举足轻重的作用.本文通过复变函数与积分变换在系统状态分析、场的分析以及图像信号处理三方面来论证复变函数与积分变换在电学计算和算法的显耀作用，并指出随着科技进步，复变函数与积分变换在电学中所起的作用将越来越重要.

【关键词】复变函数；积分变换；系统敛散性；复势；数字图像处理

1.复变函数与积分变换在系统分析和信号分析中的作用

在电学专业中，相位整个概念随处可见，而相位经常是多值的，这就应用到了复变函数论中的单叶区域和多叶区域的各方面内容，尤其是在去相位模糊的时候，复变函数论中单叶和多叶之间的映射起到了关键作用.

在电学专业中，系统状态例如系统的各种响应特性，以及以各种响应特性分析得到的系统的敛散性等是整个专业中最为根本的问题.尤其是在信号与系统和数字信号处理这两门最为重要的专业课程中，复变函数和积分变换尤为重要.在系统分析和信号分析中主要应用到的内容大致有解析函数的幂级数、泰勒级数和洛朗级数.在电学系统分析中，最为常用的是泰勒级数和洛朗级数，泰勒级数是典型的单边级数，而洛朗级数是典型的双边级数.对于级数的域的分析和各项系数的分析是分析系统敛散性的关键，在现阶段也是最基本的工具.因此对于一个解析函数的幂级数展开、泰勒级数的展开还有洛朗级数的展开以及各项系数的求解在电学中都是极为重要的.

幂级数：

∑∞n=0cn（z-a）n=c0+c1（z-a）+c2（z-a）2+……

其中，c0，c1，c2……为复常数.若此幂级数在某点z1（z1不为0）收敛，则它必在圆K：|z-a|<|z1-a|（即以a为圆心，通过圆周z1的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛.即如果系统的零点在以a为圆心、通过圆周z1的圆外，则系统是收敛的.

泰勒级数及泰勒定理：

设f（z）在区域D内解析，a∈D，只要圆K：|z-a|

f（z）=∑∞n=0cn（z-a）n

其中系数：cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ=fn（a）n！其中（Γρ：|ζ-a|=ρ，0<ρ

洛朗级数：

f（z）=c0+c1（z-a）+c2（z-a）n+…+c-1z-a+c-2（z-a）2+…

其中：r<|z-a|0）

cn=12πi∫Γρf（ζ）（ζ-a）n+1dζ

由上式可见，洛朗级数为双边级数，并且f（z）在以a为圆心，从r到R的圆环内处解析.泰勒级数为洛朗级数的特殊形式，即在r=0条件下的洛朗级数.而使z=a为f（z）的0点或者极点.

分析零点和极点对于数字信号处理中FIR和IIR滤波器的设计都有着很重要的意义，并且零点和极点的对消法是设计只具有相移特性的全通滤波器的唯一方法.因此对于一个系统响应的洛朗级数展开式以及系数求法在整个电学系统分析和信号分析中都起着举足轻重的作用.

复变函数论中柯西定理，柯西积分公式等内容，以及留数理论及其应用对于简化复杂的计算过程，对于分析系统稳定性等方面都有着重要意义.积分变换中的傅里叶变换，拉普拉斯变换是电学中对于系统分析和信号分析的最基本工具，它们直接将时域和频域联系起来，是最有利的数学变换工具.

2.复变函数与积分变换在电磁场与电磁波中的作用

复变函数论中有复势这一概念，而复势对于分析电场的电势、磁势等都有重要意义.例如电场的场强：

E（x，y，z）=Exi^+Eyj^+Ezz^

E（x，y，z）中的三个坐标分量分别为：Ex，Ey，Ez.在交变电场中，这三个量除了与时间t有关，每一项还与其他两个坐标分量上的电场有一定关系，因此，Ex，Ey，Ez不是不相关的，它们是存在一定关系的，E（x，y，z）是解析的，并且是调和函数.因此，解析函数的性质与调和函数的性质对于电磁场中的很多计算问题都有重要意义.

在电磁场中很重要的安培环路定理应用的就是柯西积分公式，另外电磁场中的各种矢量计算也都离不开复变函数论整个有力的工具.

3.复变函数与积分变换在数字图像处理中的作用

数字图像处理是近年来电学专业中得到突飞猛进的发展的一个学科，它的主要处理对象为二维信号.

复变函数论中的共形映射部分是图像检测、图像匹配等方面，现阶段一些比较流行的算法的基础.例如图像检测中要找到一条直线，一条在直角坐标系下的直线通过某种变换在极坐标系下重合成了一个点，只要对符合这个点的参数点在直角坐标系下进行连接，必可以得到所要找的直线.

另外在图像平滑时，被最广泛的应用的是复变函数论中调和函数的平均值定理.

在图像中，图像越清晰，图像所包含的高频分量越多，图像越模糊，图像所包含的低频分量越多.因此，通过积分变换中的离散傅里叶变换可以去除不想要的高频以使图像变得模糊，或者可以去除不想要的低频使图像更加清晰.

在调和函数中，经常运用到的就是拉普拉斯算子，这个算子应用的图像处理中可以接近完美的提取图像边缘.例如采用图像中的5点：

对X方向求图像f（i，j）步长为1的两个微分：

将上两式组合，得到X方向的拉普拉斯算子：

对Y方向求图像f（x，y）步长为1的两个微分：

将上两式组合，得到Y方向的拉普拉斯算子：

得到算子矩阵：

此矩阵即为图像f（i，j）拉普拉斯算子梯度，其最后得到模为：

令最后的边缘图像为L（i，j）为：L（i，j）=|4.结 论

复变函数与积分变换是数学专业的一门重要课程，但是其在电学中的应用意义已经远远超越数学理论范围.在电学中的各个分支，无论是强电还是弱电，无论是系统分析还是信号处理，无论是基本理论研究还是电学新发展理论研究，复变函数与积分变换都起着基础工具的作用.它在电学专业中的系统分析，信号分析，各种场的分析，以及图像分析中，随着研究的深入，将起到越来越重要的作用.

【参考文献】

[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社.

[2]丁玉美，高西全.数字信号处理（第二版）[M].西安：西安电子科技大学出版社.

[3]郑君里.信号与系统（第二版）[M].北京：清华大学出版社.

[4]秦勤.对于多种体制雷达多普勒干扰的探讨.现代电子技术，2010年9月.