三角函数解题中一个值得注意的问题

钟明标

在解三角题中，角的取值范围是十分重要的条件，为了解题合理、正确，既要考虑角的取值范围的明显条件，还应考虑角的取值范围的隐含条件.而不少同学在解题过程中往往疏忽，使解不完整，甚至错解.现举例分析，以飨读者.

一、算术根的化简

例1 化简1+sinα-1-sinα （α为锐角）.

错解 原式= sinα2+cosα22- sinα2-cosα22

=sinα2+cosα2-sinα2-cosα2

=2cosα2.

分析 由0°<α<90°得0°<α2<45°，此时根据算术根定义得 sinα2-cosα22=cosα2-sinα2，所以正确结论是1+sinα-1-sinα=2sinα2.

二、求三角函数值

例2 已知α，β是三角形的两个内角，且cosα=35，sinβ=513，求cosα+β.

错解 α，β为三角形内角，由cosα=35得sinα=45，sinβ=513得cosβ=±1213，而cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=35·±1213-45·513.

当β为锐角时，cosβ=1213，cosα+β=1665；

当β为钝角时，cosβ=-1213，cosα+β=-5665.

分析 事实上，仔细分析一下，β为钝角是不可能的.若β为钝角，又sinβ=513<12，由正弦函数性质可得β>150°.又cosα=35<22，由余弦函数性质可得α>45°，则α+β>180°，不符合α，β为三角内角的条件.所以正确的结论是cosα+β=1665.

三、求 角

例3 已知α，β为锐角，且tanα=17，sinβ=1010，求α+2β.

错解 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α+2β<3π2 .①

又∵sinβ=1010，∴cosβ=31010，∴tanβ=13，于是tan2β=2tanβ1-tan2β=34.

则tanα+2β=tanα+tan2β1-tanαtan2β=1.②

由①②可得α+2β=π4或α+2β=5π4.

分析 ∵sinβ=1010<22，tanα=17<1，又α，β为锐角，∴0<β<π4，0<α<π4，因此0<α+2β<3π4，∴α+2β=π4才是正确的解.

四、求三角函数的最值

例4 设x1，x2是方程x2-cosθ·x+sin2θ-2cosθ=0的两个实根，求x21+x22 的最小值.

错解 由韦达定理

x21+x22=x1+x22-2x1x2

=cos2θ-2sin2θ-2cosθ

=3cos2θ+4cosθ-2

=3cosθ+232-103

≥-103.

故最小值为-103.

分析 x21+x22的最小值为-103显然是错误的.为使方程有实根θ还必须满足Δ≥0这一隐含条件，即cos2θ-4（sin2θ-2cosθ）≥0化为5cos2θ+8cosθ-4≥0得cosθ≥35或cosθ≤-2（舍去）.

故x21+x22=3cosθ+232-103≥325+232-103=225，其最小值应为225.

由此可见，在解三角题中，希望同学们重视角的取值范围，熟练掌握由三角函数值缩小角的范围的基本技能，注意总结规律，养成良好的解题习惯，从而提高解决此类问题的准确性.