关于lnx的一个上界估计及应用

邓朝华

最近，笔者在研究lnx的性质偶然获得了lnx的一个上界估计，本文将证明这个不等式并给出它的一个应用.

定理 lnx≤2x-2（x2+1）（x>0），当且仅当x=2不等式取等号.

证明 设f（x）=lnx-2x+2（x2+1）（x>0），则

f'（x）=1x-2+2xx2+1，

f″（x）=-1x2+2·x2+1-x2x2+1x2+1

=2（x2+1）x2+1-1x2，

∵ （x2+1）3=x6+3x4+3x2+1>2x4，

∴（x2+1）x2+1>2x2.

2（x2+1）x2+1<1x2f″（x）<0

f′x是减函数，而f′（1）=0，

∴00f（x）是增函数，

x>1时 f′（x）<0f（x）是减函数，

∴f（x）max=f（1）=0，

∴lnx≤2x-2（x2+1）（x>0）.定理获证.

用此结论可以轻易证明文1提出的猜想：

若a，b，c>0，且abc=1，

则a2+1+b2+1+c2+1≤2（a+b+c）.（1）

证明 ∵ abc=1，∴lna+lnb+lnc=0，

由定理有不等式x2+1≤2x-12lnx，分别令x=a，b，c将所得三式叠加得

a2+1+b2+1+c2+1≤2（a+b+c）-12（lna+

lnb+lnc）=2（a+b+c）.

因此（1）式成立，猜想获证.显然（1）式可以毫无困难地推广到更多变元的情形.

【参考文献】

[1]宋庆.从一个简单的不等式命题说开去[J].中学数学研究，2010（10）.P19-P21.

[2]黄传军.对几个代数不等式的研讨[J].数学通讯，2010年第6期（下半月），P42.

[3]王建荣，吴良.用琴生不等式证明一类含“abc=1”条件的不等式[J].数学通讯，2012年第1期（下半月），P29～P30.