例谈如何在解题教学中反思和总结

陈光耀

【摘要】解题教学是高中数学教学中不可缺少的一部分，如何来提高解题教学的质量，在解题教学中提高学生们的能力，是高中数学教师所面临的共同问题.解题教学的质量关系着整个课堂的教学质量.教师们必须重视解题教学的方法，特别是在解题教学中的反思和总结.

【关键词】高中数学；课堂教学；解题教学；反思策略

在高中数学的教学中，解题教学是一个重要的组成部分，特别是在复习阶段，解题作为复习的一种重要的教学方式，是实现教学目的、巩固学生们的数学知识的重要途径和方法.在解题课堂中，通常都是讲解一些典型的例题来引导学生们掌握方法，实现知识的迁移，举一反三，学会解决各类问题.如果在讲解某道题后而不懂得反思和总结，那么，这样的教学效率是非常低的，学生们遇到其他问题还是找不到方法.因此，在解题教学中反思和总结是非常有必要的，这才是培养学生们解决问题的能力的一种有效方式.在解题教学中，我们又该如何来反思呢？反思和总结要达到怎么样的目的呢？下面我们就用一些例题来简要说明.

一、反思问题的特殊性，总结问题的一般性

在实际的题目中，不同的题目都有不同的条件，每一道题都是一种特殊情形下的问题.在解题教学中，讲题还要注重从问题的特殊性出发，通过分析条件和结论，总结出一种一般性的方法和结论.这样才能学会举一反三，获得新的发现.

例1 如图所示，设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，两直线的斜率的乘积为-49，求点M的轨迹方程.

这是一道教材上的例题，学生们通过分析和求解，很容易就得到了该点的轨迹方程.教师对学生们进行适当的引导，让学生们反思题目中的特殊性，通过探究和概括，得出了椭圆x2a2+y2b2=1的长轴两端点与其他任意点连线的斜率之积为一个定值，该定值就是-b2a2，这就是一个从特殊到一般的过程.但这个结论还能再继续推广吗？还能适用范围更广、更一般性的结论吗？教师再对学生们进行引导，组织学生们进行探究，把结论推广到了椭圆x2a2+y2b2=1上任何关于椭圆中心对称的两点A和B与其他任意点M的连线的斜率之积为定值-b2a2.像这样，通过例题的特殊性，拓展到知识的一般性.如果在教学中都能这样去反思、尝试和总结，那么学生们解决问题的能力将会有很大的提高.

二、反思题目中的关键点，学会创造性地解题

数学知识之间是充满联系的，在教学中，教师应该抓住一切的联系关键点来进行发散和转化，引导学生们通过知识之间的联系和转化发散思维，从一种方法到另一种方法，从一类题型到另一类题型，学会反思题目中的一些关键联系，才能发挥出学生们的创造性，在教学中应学会反思，才能找到最巧妙的解题方法，创造性地解决问题.

例2 直线xa+yb=1通过点Mcosα，sinα，则（ ）.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

在这道题中，很多学生的解题思路都是先把点M代入到直线方程中，再思考下一步，根据等式中正、余弦，可以想到用辅助角公式合并化简求解.这是最常见的一种方法，也是大部分学生都能想到的.部分学生也能抓住题中的一些关键，联想到单位圆的解题思路，设点M是单位圆x2+y2=1上的点，再把题目转化成直线与圆的位置关系问题.通过教师的指点和引导，让学生们从选项的关键之处入手，联想到柯西不等式，将正、余弦和参数a，b分离，同样也可以得出答案.只有积极地去反思，才能抓住题目中的关键之处，用不同的方法来解决问题.

三、反思题目间的通性，领悟解题的规律

解题教学中能讲解的题目是非常有限的，学生们再怎么刻苦，所练习的题目也是非常有限的，要从根本上提高解题的能力，靠多讲多练显然是行不通的，关键还是要能够从解题的过程中，反思题目之间的通性，领悟到解题的规律，形成一种正确的解题意识.有了这种意识，才能让学生们面对千变万化的题目而不慌乱，找准了方法就一定能解决问题.

例3 （1）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈0，+∞，那么，求函数f（x）的最大值.

（2）设ak，bk（k=1，2，…，n）均为正数，试证明：

①若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，则ab11ab22…abnn≤1.

②若b1+b2+…+bn=1，则1n≤bb11bb22…bbnn≤b21+b22+…+b2n.

下面再看一道例题：

例4 已知m，n为正整数.

（1）试用数学归纳法证明：当x>-1时，（1+x）m≥1+mx；

（2）如果n≥6，且1-1n+3n<12，求证：1-mn+3n<12n，m=1，2，…，n；

（3）求出满足等式3n+4n+…+（n+2）n=（n+3）m的所有正整数n.

在课堂中，我拿出了上面两道例题，并把班上的同学分成两组，两组同学分别做一道例题，在完成了本组的这道题后，可以去做另外一道题.等同学们都差不多做完了再进行统计，根据完成的情况，发现了两组学生有很明显的差异.先做例3再做例4的这组学生完成的情况明显要比另一组差，这组学生两题都做对的很少，而另一组两题都做对的明显多一些.学生们做的都是这样的两道题目，仅仅就是因为做题的先后顺序不同就导致了明显的差异.原因就在于先做例4的这一组可以先从简单的做起，由于这两道题目的方法是相通的，学生通过做简单题领悟到其中的方法，再把方法运用到相同类型的例3中，实现了知识和方法的迁移.因此，教学中更加要注重培养学生们理解和接受新知识的能力，学会把已有的方法运用到其他问题中.

总之，解题教学的过程不仅仅是解决某个问题，还是增长学生们的解题能力，拓展学生的思维能力的重要途径.在解题中能够积极反思和总结，对提高学生们的数学能力更是有非常大的帮助，教师一定要坚持用正确的方法和步骤实现这个过程，培养学生们自觉反思和总结的好习惯.