同题众说，集体智慧的具体表现

黄寿礼

摘 要：将教师比赛常用的“说题”引入到高三日常的数学集体备课中，可大大丰富传统的备课方式. 教师在“说题”前，要精心选题，选好题，在集体备课中做到一题四说，同题众说，说背景、说解法、说变式、说教法与学法. 把教师的智慧进行资源共享，提升教师的专业水平. “说”以致用，最终落实到课堂教学中，更好地为教学服务，切实提高课堂教学效益.

关键词：说题；高三数学；集体备课；同题众说

[?] “说题”的概述

德国数学家莱布尼茨说：“解题既要展示‘解的思维过程，又要探索‘解的内部境界.” 而这正是数学“说题”活动的精髓所在，当然也是它长盛不衰的关键的因素.

教师“说题”是一种新兴的教研活动方式，类似于说课但又不同于说课. 教师说题：是指执教者在精心做题的基础上，阐述对题目解答时所采用的思维方式、解题策略及依据，进而总结出经验性解题规律. 说题通过“做题、想题、改题、编题、说题”等一系列活动，将教师的“教”、学生的“学”与研究“考试命题”三者结合. 说题是数学教师教学智慧生成与表达的重要方式，同时又是一种教研活动，必须居高临下，站在教师角度研究数学题目，且要关注学生的认知结构，以让学生听懂为基本原则.

查阅关于“说题”的文献，发现关于教师“说题”的文献并不多，教师“说题”是个新兴事物，浙江师范大学教师教育学院的陈斌杰与张维忠在中学数学教学参考《数学说题比赛的过程及其评价标准》中提出说题的含义及其与解题的区别，题目的选取，说题的程序，说题的评价标准中有说题目的背景、解答、思想方法、题目的变化、教态及时间等.

目前所提到的说题，针对学生的多，而对教师，基本上都用于教师比赛，而对于平常的教研活动中结合说题研究很少. 而高中数学教学对题的研究要求很高，高中数学集体备课要求同样很高.教学工作，教师先行，基于此，将教师“说题”融入平常的集体备课中显得很有必要，可实现教师智慧共享，促进教师专业发展，可提高教师教学技能，更好地为高中数学教学服务.

[?] “说题”在集体备课中的组织实施

对于高三复习，特别是二轮复习，要处理大量的练习，面对大量的试题，我们可以从中精选题，选好题，然后在集体备课中进行“说题”，然后通过精讲，达到以一当十之效，切实减轻学生的负担. 在高三二轮练习中发现一道填空题的得分不理想，作为填空题，本不应该出现如此局面. 对此，备课组决定选取此题来集体备课中进行“说题”.

题目展示：已知

a

=

b

=1，a·b=0，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则

c

的最大值是___________ .

1. 追本溯源：说背景

本题从所求的目标来看，考查的是向量的数量积. 平面向量的数量积在近几年高考中对此内容进行多次考查，在各地的高考模拟试题中也多次出现，这方面的试题多以小题的形式出现. 向量知识经过这几年的锤炼，考查的方向已从最初的以“三点共线”为代表的初级阶段，过渡到“以三角形四心”为代表的提高阶段，直到现在的“以各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段.

不可否认的是，现在仍有部分教师只停留在用孤立的、静止的眼光看待这些试题，就题论题，浮于表面，成为阻碍自身专业发展的桎梏之一. 之所以要用更高的观点审视这些试题，一方面是为了不断提升自己的科学素养，另一方面是要尝试猜想新的结论，进而从感性认识上升到理性思维，运用数学工具进行推理论证，领会、掌握其中的数学思想与方法.

2. 多方探究：说解法

既然要求向量的模，通常的路径有两种，一是利用向量的模的定义，二是利用坐标表示. 本题可从多个角度切入，方法灵活多样.

解法1：代数法，利用数量积的定义以及cosθ≤1进行放缩，进而得出关于

c

的不等式.

解法2：解析法， 利用数量积的坐标表示及解析几何的思想把向量c的轨迹表示出来.

解法3：几何法，利用向量的几何意义找到向量c的轨迹，进而求

c

的最大值.

美国著名数学教育家波利亚曾说：掌握数学就意味着要善于解题. 而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通，才能提出新看法、巧解法. 从不同的角度去看同一个问题，会得出不同的看法，因而也就产生不同的解法.如向量问题，我们即可从代数角度考虑，也可从几何角度审视.

3. 延伸拓展：说变式

我们可以尝试对此题进行改编.

变式1：已知

a

=2，

b

=2，a·b=2，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则

c

的最大值是______.

变式2：已知

a

=2，

a-b

=

b

=2，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则

c

的最大值是______.

变式3：已知

a

=1，

a-b

=

b

，向量c满足（a-c）·（b-c）=0，若对每一确定的b，

c

的最大值和最小值分别为m，n，则对任意的b，m-n的最小值是______.

变式4：已知

a

=

b

=2，

c

=1，向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则

a-b

的取值范围是______.

对一道试题适当的变式、引申、拓展，不仅能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生的思维的广阔性、发散性. 使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而提高学生思维过程的整体性、严密性、培养学生的综合素质.当然，变式的前提是教师对试题本身进行深入思考和挖掘，一般在每评讲完一道题之后，向学生提出几个问题或让学生自己提出变式，能否推广，引导学生掌握解这类题的一般规律与方法，触类旁通，提高学生的应变能力.

4. 知己知彼：说教法与学法

学生对此题处理得不那么得心应手，通过试卷调研发现，有如下情形：

1. 部分易掌握：学生对向量的数量积公式比较熟悉，也能够结合不等式求解.

2. 知识薄弱点：向量的分解转化.

3. 能力薄弱点：分析能力弱，思路比较单一，选择运算路径不佳，缺乏转化与化归及数形结合思想的应用.

在课堂教学时，要着重复习向量数量积的知识. 要利用好“先行组织者”的作用，同时，指导学生要认真阅读题干，刑警有一句名言是“现场勘查一百遍”，放到数学里也是可以的，即对数学题要多读，精读，弄清题意，谋定而后动，合理选择运算路径，不要匆忙下笔.

这就要求教师进行学情分析，应着重分析学生学习的起始能力、学生已经形成的背景知识与技能及学生是如何进行思维的等. 教学设计理念包括教学方法和学法指导，以及教学设想. 现在常说“教”是为了“学”，为了学生的“学会”和“会学”. 但要想使学生真正达到“学会”和“会学”，尤其是“会学”，是需要教师针对学生的实际情况做引导、指导、促动的工作，而不是放任自流，听之任之.也就是说，教师在教学中的主导作用，不仅要体现在教学的导向上和内容的掌控上，还要体现在对学生的有效指导上，包括对学习方法的指导.

教师应该根据教学实际需要，结合学情，精选例题，选好题. 所选题目具有代表性，体现“活”、“巧”，难度适当，教师要用新课标理念设计出“最近发展区”的知识“生长点”，和学生一起在探究和思考的过程中，寻找题根，剖析思路，注重数学思想方法的统摄作用，培养良好的数学阅读习惯，然后再探究变式，当然还可以让学生自己进行编题活动，在编题并求解的过程中，让学生体验到成就感. 久而久之，学生便会摆脱数学学习的枯燥感与恐惧感，逐渐喜欢数学且会增加自信心.

[?] 集体备课中“说题”的启示

通过在高三集体备课中对“说题”实施应用，深受备课组教师的欢迎，也尝到了甜头，也体会到教学的成功，一言蔽之，感触颇多.

1. 深化对问题的探究

高三数学教学，解题教学是重点，“解题教学”四字中，当数“题”最重要. 高中教师每天都在做题，每天都有做不完的试题，这就需要教师静下心来对问题进行深入探究.什么样的题最值得研究，最值得在课堂上对学生评讲. 也就具备“说题”的题显然很重要，说题的对象是一个典型的题，教师应该具有发现好题的慧眼.如在试卷评讲中，根据学生在做卷中暴露的问题，便是一个很好的途径. 解题教学要从解题分析过程入手进行多方位、多层次的剖析，让学生明明白白、清清楚楚地知道解题的每一步是怎样想到的，教师应该做魔术师的教练，解释魔术的前因后果. 抓住典型好题，借题发挥，对学生进行有价值的训练.

2. 强化教师的思维

我们经常见到学生中存在这样的现象“一听就懂，一做就不会”，也常见教师如此抱怨“我都已经讲了无数遍了，学生还是不会做”等. 当然原因是多方面的，但其中有一点是肯定的，就是教师在备课时，站在自己的角度来思考问题，而易忽视学情，高估学生的能力，不是从学生的认知心理的角度去考虑问题. 这样，无形中让教师的思维与学生思考问题的角度存在差异，不合拍，很难引起“共鸣”，当然教学效果就不尽如人意. 而在集体备课中通过“说题”来展示教师的思维轨迹，结合学情说出学法与教法，可有效地“强化”教师的思维. 从教师和学生两个视角出发剖析问题，既促进了学生思维发展，又增强了教学效果.

“说题”作为一种新兴的教研活动，更应体现在日常的教学工作中，集体备课便是说题的合适舞台，让数学教师将“说题”活动成为一种习惯性的备课教研活动，“同题众说、百家争鸣、智慧共生”，让我们的备课由繁变简，课堂教学减负增效，成为集体研修、自我提高、专业成长的一条捷径！