归纳
2014-04-29王志伟
王志伟
摘 要：如何减轻学生学习数学的负担，如何提高我们高中数学学习的实效性. 本文通过对一类代数综合题的归纳，让学生体会如何突破思维障碍，解决数学问题.进而让学生了解归纳意识对数学思维的重要作用，并有意识地进行训练.
关键词：思维能力；归纳；代数题型
思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物本质和内部的规律. 而高中学生数学思维，是指高中学生在对数学感性认识的基础上，运用分析、比较、归纳、演绎、综合等思维的基本方法，理解并掌握数学内容，而且能对具体的数学问题进行简单的推论和判断，从而认识高中数学知识本质以及规律. 高中学生如何提高数学思维能力呢？我们认为，虽然数学思维能力并非总等同于解题，但可以这样说，高中学生的数学思维的形成是建立在对高中数学基本概念、基本定理和公式理解的基础上的；数学思维能力的提高与数学解题的过程是紧密相关、无法分割的. 发展学生数学思维最有效、最直接的方法是通过解决问题来实现的. “问题是数学的心脏”. 然而，在学习高中数学过程中，我们经常可以听到学生反映，上课听老师讲课都听得懂，但轮到自己解题时，总感到一头雾水，困难重重，无从入手；有时在课堂上，当我们把某一问题分析完，经常看到学生拍拍自己的脑袋：“唉，我怎么会没有想到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，学生感到困难，并不是因为这些问题的解答都非常难，以致学生没有办法解决，而是因为其思维形式与具体问题的解决存在着一些差异，也就是说，此时学生的数学思维存在障碍. 这种思维障碍，有的来自于我们教学过程中的疏漏，而更多的则来自学生自身，他们的脑海中存在着一些错误的或不科学的知识结构和思维模式. 如何突破这种思维障碍呢？笔者觉得及时对知识进行归纳总结是一种非常有效的方法.
所谓的归纳，就是通过观察和比较，发现不同对象之间的区别和联系，然后总结他们的共同特点，得出一般性结论. 这是一种从特殊到一般的推理方法. 有计划地对知识进行梳理、归纳和总结，一方面可以巩固旧知识，而且还可以实现预览新知识的目的；另一方面可以通过归纳总结增强记忆力，加深理解，帮助学生把知识转化为能力，为以后的学习奠定基础. 归纳有很多的形式，可以归纳知识体系，可以归纳解题方法，可以归纳解题步骤，可以归纳错误原因等.归纳无处不在，本文主要是对一类代数综合题的转化方法进行归纳，目的为了让学生掌握这类题型的转化方法，提高他们的思维能力.
我们在教学过程中，常常遇到一些有关恒成立和存在性问题的代数综合问题. 这些问题往往涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法. 学生面对这些问题往往一筹莫展，无从下手，或者张冠李戴，转化错误. 其实这类问题的解题的基本思路是：根据已知条件将问题向基本类型转化，通过分离参数或构造函数，转化为最值问题进行求解. 归纳一下，主要有以下几种类型.
类型一 “?x∈D，f（x）>g（x）”
对于形如?x∈D，f（x）>g（x）的问题，一般先构造函数y=f（x）-g（x），然后转化为?x∈D，y>0，即ymin>0.
例1 二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围.
解：（1）f（x）=x2-x+1.
（2）因为y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，故f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，即x2-x+1>2x+m恒成立，令g（x）=x2-x+1-2x=x2-3x+1，g（x）min>m，而g（x）min= -，所以m<-.
点评：本题中，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方可转化为f（x）>2x+m在[-1，1]上恒成立，然后构造函数求解. 注意不能转化为f（x）min>（2x+m）max，因为在本题中左式和右式必须取相同的x.
同类型的还有：?x∈D，f（x）>g（x），构造函数y=f（x）-g（x），转化为ymax>0.
类型二 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）
对于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2）的问题，式中有两个变量x1，x2，我们采取的方法是逐个转化，先把其中一个作为变元，另一个作为常量，如x1为变元，?x1∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）min>g（x2），再将x2作为变元，?x2∈D，f（x）min>g（x2），转化为f（x）min>g（x）min，进行处理.
例2 已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x
x-m
+2m-8. 若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[4，+∞），使得f（x1）>g（x2）成立，求实数m的取值范围.
解： f（x）=2x-m，x≥m，
2m-x，x
①当4≤m≤8时，f（x）在（-∞，4]上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在[4，m]上单调递减，[m，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8，解得4
所以4 ②当m>8时，f（x）在（-∞，4]上单调递减，故f（x）≥f（4）=2m-4. g（x）在 4， 单调递增， ，m 上单调递减，[m，+∞）上单调递增， g（4）=6m-24>g（m）=2m-8， 故g（x）≥g（m）=2m-8. 所以2m-4>2m-8，
解得4
③0 故f（x）≥f（m）=1，g（x）在[4，+∞）上单调递增， 故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m<1，即 ④m≤0时，f（x）在（-∞，m]上单调递减，[m，4]上单调递增， 故f（x）≥f（m）=1. g（x）在[4，+∞）上单调递增， 故g（x）≥g（4）=8-2m. 所以8-2m<1，即m>（舍去）. 综上，m的取值范围是 ，5 ∪（6，+∞）. 点评：注意与例1的区别，这里左、右两边的变量可以取不同的值. 同类型的还有：（1）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）min>g（x）max； （2）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）max>g（x）max； （3）?x1∈D，?x2∈D，f（x1）>g（x2），转化为f（x）max>g（x）min. 类型三 ?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2） 对于形如?x1∈D，?x2∈D，f（x1）=g（x2）的问题，可将f（x）的值域记为A，函数g（x）的值域记为B，该问题等价为A?B. 例3 函数f（x）=x2-2x，g（x）=mx+2，对任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），则实数m的取值范围是________. 解：x1∈[-1，2]，g（x）=mx+2的值域记为A，x2∈[-1，2]，f（x）=x2-2x的值域记为B，易知B=[-1，3]. 因为对任意x1∈[-1，2]，存在x2∈[-1，2]，使g（x1）=f（x2），故A?B. （1）当m>0，A=[-m+2，2m+2]，所以2m+2≤3且-m+2≥-1，即0 （2）当m<0，A=[2m+2，-m+2]，所以 -m+2≤3且2m+2≥-1，即-1≤m<0. （3）当m=0，A={2}，满足A?B. 综上所述，m∈ -1， . 点评：根据函数的定义，任一个自变量x，都存在唯一的应变量y与之对应，所以?x∈D，f（x）=m要成立，m的取值集合就是函数f（x）的值域，?x∈D，m=g（x），m应该属于g（x）的取值集合，故函数f（x）的值域为g（x）的值域的子集. 类型四 ?x1，x2∈D， f（x1）-f（x2） ≤C 对于形如?x1，x2∈D， f（x1）-f（x2） ≤C的问题，因为 f（x1）-f（x2） ≤f（x）max-f（x）min，所以原命题等价为f（x）max-f（x）min≤C. 例4 已知函数f（x）=x2-2ax+5（a>1）. （1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； （2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有 f（x1）-f（x2） ≤4，求实数a的取值范围. 解：（1）因为f（x）=（x-a）2+5-a2（a>1），所以f（x）在[1，a]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a]， 所以f（1）=a， f（a）=1，即1-2a+5=a， a2-2a2+5=1，解得a=2. （2）因为f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，所以a≥2. 又x=a∈[1，a+1]且（a+1）-a≤a-1， 所以f（x）max=f（1）=6-2a，f（x）min=f（a）=5-a2. 因为对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有 f（x1）-f（x2） ≤4， 所以f（x）max-f（x）min≤4，所以2≤a≤3. 点评：c≥f（x）恒成立，即c≥f（x）max，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f（x）在区间D上的函数差的最大值小于c. 如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题进行处理. 类型五 ?x1，x2∈D， f（x1）-f（x2） ≤a x1-x2 对于形如?x1，x2∈D， f（x1）-f（x2） ≤a x1-x2 这样的问题，首先根据函数f（x）的单调性去掉 f（x1）-f（x2） ≤a x1-x2 中的绝对值符号，再构造函数g（x）=f（x）-ax，从而将问题转化为新函数g（x）的单调性. 例5 在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数f（x）为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”. 已知函数f（x）=1-. （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”； （2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明： f（x1）-f（x2） < x1-x2 ； 解：（1）显然f（x）在区间（0，1]上为增函数，因为f（x）=（1-）=·=·=·=，所以f（x）在区间（0，1]上为减函数. 所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”. （2）要证 f（x1）-f（x2） < x1-x2 ，不妨设0≤x1 点评：?x1，x2∈D， f（x1）-f（x2）
