浅谈高考复习教学中函数易错问题的解读
2014-04-29邓利民
摘 要：函数教学一直是高中数学的重中之重，在高三复习教学中，从学生易错的视角入手分析函数问题，对函数教学有事倍功半的效果. 本文将从案例角度进行分析，立足给函数复习教学带来有效性的指导.
关键词：函数；易错；复习教学；解读
众所周知，函数教学一直是高中数学的重点和难点. 从知识视角来说，函数概念较为形式化和抽象，对中学生来说难以完全理解和掌握，其三要素的分析和求解一直是高中数学核心的体现. 函数三大性质更显得纷繁复杂，一旦将这些性质结合起来置于具体的或抽象的函数之中，学生就显得手足无措. 纵观高考命题，大量研究发现高考题中的稍难题和压轴题基本围绕函数思想在命题，最终都是利用转化与化归思想求解，因此函数的复习教学成为整个高三数学复习教学的重中之重.
从学生视角来说，笔者通过多年的高三教学发现，学生对函数问题的掌握不尽满意. 究其原因，笔者以为学生对函数概念并未真正理解，对函数性质不能熟练运用，对函数整个问题教学难以站在更高的角度上去分析，出错的问题依旧在出错，明显对自身易错的问题不够认知清晰和足够重视. 本文将从学生易错的视角，通过案例分析的方式进行解读，旨在给复习教学工作带来一些新的思考.
[?] 基础问题易错
例1 求函数y=log（x2-3x）的单调区间.
易错分析：忽视函数的定义域，认为x的取值范围是全体实数，导致错误.
解：设t=x2-3x，由t>0，得x<0或x>3，即函数的定义域为（-∞，0）∪（3，+∞）. 函数t的对称轴为直线x=，故t在（-∞，0）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增.而函数y=logt为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y=log（x2-3x）的单调递增区间是（-∞，0），单调递减区间是（3，+∞）.
解读：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间必须先求出函数的定义域.如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据“同增异减”的法则求解函数的单调区间. 由于思维定式的原因，容易忽视定义域，导致错误.
[?] 函数性质易错
例2 函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x>0时，恒有f（x）>1.
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a2+a-5）<2.
易错分析：（1）对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义.应该构造出f（x2）-f（x1）并与0比较大小.
（2）将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性去掉是本小题的切入点. 要构造出f（M） 解：（1）设x1 （2）因为m，n∈R，不妨设m=n=1，所以f（1+1）=f（1）+f（1）-1，f（2）=2f（1）-1，f（3）=4，f（2+1）=4，f（2）+f（1）-1=4，3f（1）-2=4，所以f（1）=2，所以f（a2+a-5）<2=f（1）. 因为f（x）在R上为增函数，所以a2+a-5<1，-3 小结：解函数不等式的问题一般步骤如下所示. 第一步：确定函数f（x）在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为f（M） 第三步：运用函数的单调性去掉函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组，确定解集； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范. 解读：本题对函数的单调性的判断是一个关键点. 不会运用条件x>0，f（x）>1，构造不出f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）-1的形式，找不到问题的突破口. 第二个关键应该是将不等式化为f（M） [?] 整合问题易错 例3 已知函数f（x）=-x2+2ex+m-1，g（x）=x+ （x>0）. （1）若y=g（x）-m有零点，求m的取值范围； （2）确定m的取值范围，使得g（x）-f（x）=0有两个相异实根. 易错分析：（1）y=g（x）-m有零点即y=g（x）与y=m的图象有交点，所以可以结合图象求解. （2）g（x）-f（x）=0有两个相异实根，则y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解. 解：（1）法一，因为g（x）=x+≥2=2e，等号成立的条件是x=e，故g（x）的值域是[2e，+∞），因而只需m≥2e，则y=g（x）-m就有零点. 法二，作出g（x）=x+（x>0）的大致图象，如图1. 可知若使y=g（x）-m有零点，则只需m≥2e. 图1 图2 （2）若g（x）-f（x）=0有两个相异实根，即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，作出g（x）=x+（x>0）的大致图象，如图2. 因为f（x）=-x2+2ex+m-1=-（x-e）2+m-1+e2，所以其图象的对称轴为x=e，开口向下，最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e，即m>-e2+2e+1时，g（x）与f（x）有两个交点，即g（x）-f（x）=0有两个相异实根. 所以m的取值范围是（-e2+2e+1，+∞）. 解读：（1）求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法求解. （2）本题的易错点是确定g（x）的最小值和f（x）的最大值时出错. 要注意函数最值的求法. 通过上述三个函数易错问题的分析，笔者从基本知识到函数性质，最后到整合函数的易错点，层层深入，可以清楚看到学生常常在解决函数问题中的错误，对这些易错点的解读有利于教师下一阶段教学工作的合理展开. 笔者最后想说：大部分学生不可能向教师一样站在系统的高度去理解数学知识和数学试题，这势必要求教师定期对易错的问题进行归纳和整理，以易错题学案的形式进行定期巩固，这样更能加强函数复习教学中易错问题的梳理和掌握. 以上是笔者对高中数学教学易错知识的一些看法，限于时间和篇幅，着重以函数教学中的常规案例出发，以错误为载体，围绕着基础知识、函数性质、整合能力等方面中出现的错误及寻求应对这些错误的技巧展开叙述，期间还有很多问题没有涉及，还有一些方面笔者未能从自身的教学实践中提炼、总结出来，期待读者补充. 笔者尚需更进一步的钻研，学习各种教育教学理论，丰富自己的理论素养，并且在实践中落实理论，提炼经验. 数学学科是一门庞大的学科，教学的视角也各有不同，教学风格也更有千秋，但是我们的目标是为学生提供更方便、更简洁、更艺术的道路，让学生获得成功. 前人积累的经验已经很丰富了，因此更需要我们寻求独特的视角多加钻研，笔者提出了“复习教学中紧抓易错问题”的观点来关注学生呈现的错误，抓住契机，调整教学内容，以上的笔者管窥之见，希望各位同仁能够不吝赐教.
