快速判断闰年有妙招

郑艺霞

摘 要： 教师应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重因材施教。在以往教学中，要判断某一年是不是闰年，就是用4或400除这一年的年份数。三年级学生只学习除数是一位数，被除数最大是三位数的除法，一位数除四位数这类题目，对学生来说，难度大，计算速度非常慢。作者结合多年数学学习经验，总结了一种特别简便的方法判断闰年，并用数学语言加以证明。

关键词： 闰年 理论证明 优化计算方法

《义务教育数学课程标准》指出：教师应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，面向全体学生，注重因材施教。人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》三年级下册第四单元《年、月、日》，介绍了平年和闰年的知识。书上是这样写的：公历年份是4的倍数的一般是闰年；但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。换言之，要判断某一年是不是闰年，用4或400除这一年的年份数，如果除得的商是整数且没有余数，那么这一年就是闰年；如果有余数，那么这一年就是平年。三年级学生只学习除数是一位数，被除数最大是三位数的除法，一位数或三位数除四位数这类题目，对学生来说，有一定难度。虽然近几年教材变动很大，但这部分知识的学法还是没变。这样的学法确实不容易为学生所接受。那么应该怎样突破这个难点，本文阐述如下。

一、解读教材，深度思考

笔者执教《年、月、日》前，仔细研究了这节课的教学重点，觉得让学生掌握平年与闰年的判断方法难度不是很大，而且这部分内容和学生的生活密切联系，能激发学生极大兴趣。但是有这样的担忧，学生虽然学习了除数是一位数的除法，但一位数除四位数，教材上没有出现过，更没有学过三位数除四位数，计算方面学生会有困难。因此，为了顺利教学这部分知识，课前已经多次向学生渗透了算法。所以当介绍完判断闰年的方法后，学生个个迫不及待地想一试身手时，借机组织学生进行相关练习，用年份判断闰年。看着学生鸦雀无声、埋头苦算的样子，笔者心中不禁一阵窃喜，看来学得还不错，提前渗透算法还是有效果的。过了几分钟，感觉应该做得差不多，但是一经检查，还有相当一部分学生没有完成。这和课前预设的大相径庭。仔细检查学生练习本，发现学生之所以没有按预想的时间完成主要有两个原因：第一，大部分学生是用每个年份逐个除以4或400，这样就需要大量计算，浪费了时间；第二，计算四位数除以一位数或三位数的除法，对于三年级学生来说，难度很大，计算速度非常慢，甚至有一部分学生在计算上还有障碍。但是如果将一位数除四位数作为一个教学内容，要求学生掌握，则又会增加学生不必要的学习负担。

全国著名特级教师钱金铎老师曾说：“在课程的实施过程中，预设的教学过程同课堂的真实情境之间经常存在着不同程度的偏离。而这样的偏离正是学生个人知识、直接经验、生活世界等儿童文化的外显，正是学生与教材碰撞出的自我解读，其中不乏有价值的成分。”那该如何找到这其中有价值的成分，课后，笔者多次观摩这一内容的公开课，同样，方法学生虽然会了，但是计算起来相当麻烦，每判定一次都需要列除法竖式，学生判断闰年的正确率和速度得不到保证。有的同学一看到这类题目就皱起眉头，产生畏难情绪。这样的方法已经偏离了学生认知水平。

二、改进教学，引导探究

数学教学应结合小学生的认知发展水平和已有知识经验展开，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。再次教学这一内容时，笔者调整了教学思路，在学生计算前多设计了一些活动：一看，观察年历表，初步发现它与4的关系（每4年有一个闰年）；二猜，根据这一发现猜一猜哪些年是闰年；三推，用加4减4的规律推一推，发现闰年的年份数与4的密切关系；四算，最后引出用年份数除以4的方法。在计算过程中，学生遇到困难，此时学生渴望寻找快速判断的好方法。于是，笔者顺水推舟，紧追一步，有了以下片断教学：

师：同学们，我们能不能根据个位上的数来判断呢？

生：1983年是平年，不用除以4的，我都可以看出是平年，4的倍数个位都是双数。个位是单数的肯定不是闰年。

师：也就是说我们可以先用排除法，如果年份数是单数的，就一定不是闰年。那现在剩下年份数是双数的情况，还可以怎么排除呢？

生：先找出是整百的年份，只要用它的前两位数去除以4就可以了。

师：能举个例子吗？

生：比如：1600年，可以直接用16去除以4，没有余数，那就是闰年。1900年，只要用19去除以4，有余数，那就是平年。

师：你为什么这样判断呢？能不能讲一下其中的道理呀？

生：因为2400里面有24个100，400里面有4个100，看2400里面有几个400，只要用24去除以4就可以了。

听着他的回答，教室里一片掌声……

师：通过运用排除法，由原来需要计算6题，现在只剩下1996年和2014年，只需计算2题，大大减少了计算量，节省了时间，我们可以更快地完成这类题型。

生：我还有更快的方法，年份是双数的，我可以用后两位数除以4。比如：1996年用96除以4没有余数，所以1996年是闰年。14除以4有余数，2014年不是闰年。

师：为什么？

生：……

学生说不出原因，笔者也在思考，到底这个方法可不可以，于是组织学生举例验证，发现是这个方法是可行的。这样的课堂生成让笔者惊喜不已。

苏霍姆林斯说：“教育的技巧并不在于预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生的不知不觉中作出相应的变动。”只有我们尊重生成，弘扬学生的课堂主权；引导生成，保证资源的有效价值，课堂才能充满智慧的灵光。这节课学生不经意出现的这个亮点是学生学习的顿悟、灵感的萌发，稍纵即逝。教师要及时捕捉到这条“价值不菲”的信息，从而激活其他学生的思维，使得这个判断方法不断升华，为最后的巧算奠定基础。在这一过程中，学生的智慧正在绽放，视野正在扩大，我们必须用心倾听、及时捕捉和充分肯定，这比任何所谓的知识目标更为可贵。

三、利用理论，验证方法

牛顿曾说：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现。”著名的数学教育家波利亚在1953年就大声疾呼：“让我们教猜测吧！”“先猜后证——这是大多数的发现之道。”学生的猜想是否正确呢？带着这个问题，笔者访问了很多高年级学生，他们也都表示没有使用过。又询问过几位教学经验丰富的教师，他们也都表示在教学生涯中没有这样教过。或者说有这样想过，但不敢直接教给学生。确实数学是严谨的，不能单靠有限个数字的验证，就妄自下定论。为了让这个判断方法更好地运用于生活实际，笔者结合多年数学学习经验，用数学语言进行了严格的数学证明。证明如下：

1.公历年份不是整百数

证明：设M=A×1000+B×100+C×10+D是任意一个四位数整数，其中A，B，C，D表示0～9的整数。因为M÷4=（A×1000+B×100+C×10+D）÷4=A×250+B×25+（C×10+D）÷4且A×250，B×25都是整数，故如果（C×10+D）÷4是整数，则M是4的倍数，否则M不是4的倍数。

同理可证年份数是三位数的情况。

所以当公历年份不是整百数时，年份数的末两位是4的倍数，则这个年份数就是4的倍数。

2.公历年份是整百数

证明：设M=A×1000+B×100是任意一个整百数，其中A，B表示0～9的整数。因为M÷400=（A×1000+B×100）÷400=（A×10+B）÷4，故如果（A×10+B）÷4是整数，则M是400的倍数，否则M不是400的倍数。

同理可证年份数是三位数的情况。

所以当年份数是整百数时，只要去掉末尾的两个零，剩下的数是4的倍数，则这个年份数就是4的倍数。

四、概括总结，回顾反思

有了理论支撑，快速判断闰年的方法总结如下：首先看年份的个位，个位是单数的年份是不是闰年；其次判断年份是双数的情况，当公历年份不是整百数时，只要看年份数的末两位是不是4的倍数，如果是4的倍数，那么是闰年；当年份数是整百数时，只要去掉末尾的两个零后再除以4，如果是4的倍数，那么就是闰年。掌握了这种方法之后，即使学生还没有学习一位数除四位数，也不会影响到闰年的判断，甚至学生不需要计算，只要口算就能立即知道某一年是平年还是闰年，而且在日常生活中也很有实用价值。

教学过程是动态的，因时因人而发生变化。教师对于教材上提供的方法不能生搬硬套，要根据学生的实际情况加以灵活运用，这样才能使学生更有效地掌握，同时对教师的素质提出更高要求。在教学工作实践中，没有最好的教学方法，只有最适合的教学方法。只要我们多加思考，就会找到更适合的方法。一线教师在新一轮课程改革面前，必须走进新课程，而不是让新课程走进我们。在新的课堂教学中，要用教材去教，而不是教教材。从学生实际生活出发，引导学生学会用数学的眼光观察生活，把数学学习置于实际生活的背景之下，感受数学学习的价值。