巧解高考题中抛物线的焦点弦问题

陈小林 曾利萍

抛物线的焦点弦问题是解析几何中的一个重要问题，同时也是高考中关于抛物线问题的高频考点.解决这类问题，如果能够熟练运用本文中讨论的4条性质，就可以将很多复杂问题简单化.

如图，AB是抛物线y2=2px（p>0）过焦点F（ p 2 ，0）的一条弦.设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），过A，M，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.

一、抛物线焦点弦的4条性质

性质1 过焦点的弦长 |AB|=x1+x2+p=2x0+p.

证明 根据抛物线的定义有|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+ p 2 +x2+ p 2 =x1+x2+p=2x0+p.