数形结合在中学数学中的灵活应用

邱守臣

【摘要】 数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远.“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使问题简洁明快，还开拓思路，为研究和探究数学问题开辟了一条重要的途径.

【关键词】 数形结合；中学数学；教学；解题；应用

现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识和方法的传授，而是通过数学教学在传授知识与方法的同时培养学生的数学素质.而数学思想方法又是数学素质的精髓和灵魂，是数学学习的核心.因此，掌握数学的思想和方法是学好数学的必要条件，它像一把“万能的钥匙”，可以打开诸多问题的大门.数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远.“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使问题简洁明快，还开拓思路，为研究和探究数学问题开辟了一条重要的途径.

一、数形结合在教学中的应用

1.数形结合在函数教学中的应用

数形结合是中学数学思想中的重要数学思想之一，渗透于数学的

各个环节之中.在函数教学中，函数及其图像为数形结合的教学开辟了广阔的天地.函数的图像是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图像的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证.如二次函数、指数函数和对数函数等等，根据函数图像讨论函数的性质，借助函数图像的直观性解决实际问题，使学生学得轻松有趣.既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图像和性质的理解，使数与形在学生的头脑中密切地结合起来.

2.数形结合在不等式中的应用

在不等式的教学中，可以把不等式问题转化为函数问题来解决，利用函数的思想，应用数形结合的方法解决不等式的问题.

二、数形结合在解题中的应用

利用数形结合进行解题，不仅能将优美的解题过程形象地展现在解题者的面前，而且给解题者带来层次分明的思维训练而回味无穷.在教学时，要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数的问题的本质属性；由形思数，利用数研究形的各种性质，寻找运动规律；数形结合，促进矛盾的顺利转化，创造条件使对立双方达到统一.这样有利于培养学生多角度、多方面思考的习惯，有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性，提高学生解决问题的能力和创新能力.

1.由数想形，直观显现

某些看似简单的数量关系的代数问题，如果能注意到它所包含的几何意义，或者设计出一个与之相关的几何模型，则可能找到新颖别致的解法，借助“形”使我们对问题本 身不但有直观的分析，且能有更深刻和实质的了解.

2.形中觅数，抽象变形象

某些代数三角问题，借助于图形性质来探求思路或作出结论，而某些几何问题，可通过计算或数量分析的方法，能准确和深刻地表述图形的性质，获得问题的结论.

3.数形对照，相互渗透

由数想形、形中觅数是数形结合的两个方面，有时又要综合应用，既由图形寻找出数量关系，又通过代数方法加以解决.

例 设D为△ABC边上一点，而BD=2DC，

求证：AB2+2AC2=3AD2+6CD2.

分析 若单从几何角度看，已知条件和论证的目标相距较远，不易下手.如果我们建立如图所示的直角坐标系，使数形结合，综合应用解决.可设四点的坐标分别为A（x，y），B（-2a，0），C（a，0），D（0，0），则有：

总而言之，“数无形不直观，形无数难如微”.数形结合是学好数学的一把钥匙.见到数量就要考虑它的几何意义，见到图形就应考虑它的代数关系，运用数形结合的思想解决数学问题.因此，数形结合思想在中学数学教学中起着举足轻重的作用.