对一道高考数学压轴题的探析

张金兰

摘要：数列是高中数学的重点内容之一，也是与大学数学衔接的一个桥梁.随着新课程改革的进程，近几年高考加强了数列知识的考查，常以压轴题的形式出现.这些题型重点考查考生的推理能力、归纳能力、综合应用能力和相关的数学思想，同时也注重与大学数学的衔接.

关键词：数列；高中数学；高考

数列是高中数学的重点内容之一，也是与大学数学衔接的一个桥梁.由于它在考查考生的逻辑推理能力、归纳猜想能力、创新能力等方面有不可替代的作用，数列在历年的高考试题中都占有重要的位置.有关数列的综合题更是考生解题能力与数学思想的集中体现，随着新课程改革的进程，近几年高考加强了数列推理能力的考查.

2008年广东高考数学（理科）卷第21题正是对数列相关知识的考查，题目如下：

本文试图从更高的视角解读此题，这里主要对第（2）问进行探讨.

一、从考查高中学生数学素养的角度看

根据递推公式求数列的通项公式，在中学常用的求解方法是构造等比（等差）数列、迭代法、待定系数法或数学归纳法. 这里可通过构造等比数列或数学归纳法求数列{xn}的通项公式，文[2]给出了多种求解方法.但笔者认为，求数列通项公式的最为质朴和实用的方法应是数学归纳法.原因有二，其一，从解题过程看，数学归纳法显得更为自然合理，而构造法则体现了一定的构造技巧；其二，从思想方法看，数学归纳法作为高中学生必须掌握的思想方法经常应用在数列的相关题目中，它能集中考查学生对数学知识的归纳、猜想和推理能力，这种能力也正是新课程标准非常强调的.

下面对数学归纳法的求解过程进行分析.

二、从竞赛的角度看

对于参加过奥林匹克数学竞赛或训练的高中学生来说，求数列{xn}的通项公式则会有更大的发挥空间.递推关系xn=pxn-1-qxn-2是二阶常系数线性齐次递推关系，在竞赛中求这类数列常用的方法是特征根法，此法简单直接.

下面用特征根法给出求解过程.

三、从高等数学的角度看

当我们站在高等数学的框架下看递推关系xn=pxn-1-qxn-2时，它与组合数学的相关知识有着千丝万缕的联系，它隐含着大家所熟悉的经典递推数列.

数学教师如果能将高等数学和初等数学的知识融会贯通，站在更高的视角看待中学数学内容，则在处理许多问题时会显得更加游刃有余.虽然我们不能将高等数学的方法传授给学生，但可让他们对中学数学内容获得更深的认识，同时培他们良好的数学思想.

2008年广东高考数学（理科）卷第21题的美妙之处就在于它体现了新课程下高中与初中知识的衔接，考查了高中数学最为重要的数学知识、思想和方法，也实现了初等数学向高等数学的过渡，出题者可谓用心良苦.

参考文献：

[1] 曹汝成.《组合数学》[M].广州：华南理工大学出版社，2000.1.

[2] 陶磊.《朴实无华，返璞归真——2008年高考广东（理科）卷第21题赏析》[J].广东教育，2008.7.

[3] 邹发明.非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧[J].中等数学，2008.4.

[4] 邹小维.鲁卡斯（Lucas）数列的几个性质[J].黄冈师范学院学报，2006.6.

（作者单位：东莞市樟木头中学广东东莞 523621 ）