高考函数问题中的新热点讨论

刘运金

摘要：纵观近几年的高考试卷，函数问题的命题方式正悄然发生变化，它与数学中其他分支或者其他学科进行交叉命题已成为一大热点，并且经常以综合性题目的形式出现，这就要求学生不仅要具有扎实的基础知识，同时还应具备横向思维的能力。面对这一形势，本文从函数与函数极限、导数、概率、物理问题等多个方面对高考函数的命题方式进行探讨。

关键词：高考；函数；新热点

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0157

一、引言

函数，作为高中数学的主干知识，起着连结和支撑数学知识的重要作用，一直是高考的重点内容，通常与方程、数列或者不等式等内容渗透或交叉出现。近几年来，随着新课程改革的提出，高考函数随之也在理论和实践上发生了深刻的变化。例如，在向量引入教材后，函数问题便增添了生机与活力，在很大程度上拓展了函数问题的命题空间。在改革的新浪潮下，本文结合高考试题，在以下几个方面深入探讨函数命题的新热点方向：

二、高考函数问题中的新热点

1. 与函数极限、导数的交叉

极限作为一种运算，从历年高考考查来看，基本要求比较低，随着考查力度的增大，它逐步融入到了各知识点当中，这使得函数与函数极限的创新交叉受到高考数学命题者的青睐。

例1. (2006年重庆高考题)：已知函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b，c∈R为常数。若b2≤4(c-1)，且lim=4，试证：-6≤b≤2。

证明：由f(x)=(x2+bx+c)ex，得f '(x)=(2x2+b)ex+(x2+bx+c)ex，

所以f(0)=c， f ′(0)=b+c。

于是lim=lim= f ′(0)，即b+c=4。

又因为b2≤4(c-1)，故b2+4b-12≤0。

所以-6≤b≤2。

点评：本题集超越函数、函数极限于一体，灵活地运用导数的定义求极限值是此类题型的关键。

2. 与导数的交叉

以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋势。高考常以函数单调性区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。

例2. (2007年安徽高考题)：设a≥0f(x)=x-1-ln2x+2alnx(x>0)。F(x)=xf ′(x)，讨论F(x)在(0，+∞)内的单调性并求极值。

解：根据求导法则得f(x)=1-+，x>0。故

F(x)=x·f ′(x)=x-2lnx+2a，x>0.

于是F ′(x)=F ′(x)=1-+x>0，

列表如下：

故知F(x)在(0，2)内是减函数，在(2,+∞)内是增函数，所以，在x=2处取得极小值，极小值F(2)=2-2ln2+2a。

点评：对于导数与函数的交叉试题，只要我们把握住导数在其概念、单调性、极值和几何意义等方面的应用，掌握近年来此类试题的考点、常见题型及其求解策略，从而适应高考的要求。

3. 与概率统计交叉

概率与统计试题是高考的必考内容，它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布性质及其应用为目标。但概率统计试题的考查与函数创新交叉，也成为高考热点。

例3. (2005年湖南高考题)：某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人游览哪个景点互不影响。设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。

(1)求ξ的分布列及数学期望；

(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2，+∞)上递增”为事件A，求A事件的概率。

解：(1)设A1，A2，A3分别表示客人游览甲、乙、丙旅游景点3件事件，则A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6。

因为客人游览的景点数可能为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数可能为3，2，1，0，所以ξ的取值为1，3。

P(ξ=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)+P(1-A1)P(1-A2)P(1-A3)=2×0.4×0.5×0.6=0.24。

则P(ξ=1)=1-0.24=0.76，于是ξ的分布列为：

数学期望Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48。

(2)当ξ=1时，函数f(x)=x2-3x+1在区间[2，+∞)上递增，当ξ=3时，f(x)=x2-9x+1在区间[2，+∞)上不递增，因此P(A)=P(ξ=1)=0.76。

点评：函数与概率统计的交汇在高考中还是初见端倪,虽然难度不大，但具有内容新、背景新、结构新的特点，预计在今后的高考中将会设计得更加灵活、更能体现知识间的内在联系。

4. 与物理问题交叉

函数的知识是其他学科(如物理学)的必备基础，也是研究和解决各种问题的基础。函数的教学内容蕴含着极其丰富的辨证思想，是对学生进行辨证唯物主义教育的良好素材。函数的思想方法已经广泛地渗透到中学数学的整个过程和其他学科当中了。

例4. (2007年南昌市高考模拟题)：若已知某质点的运动方程为s(t)=-at ，要使t ∈[0,+∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求a实数的取值范围。

解：s(t)=-a。

因为s′(x)≤1，所以

-a≤1，

则有

-a≤1

-a≤-1a≥

-1

a≤

+1 ，

当t∈[0,+∞)时，(+1)min=1，所以a≤1。当t→+∞时，，且连续递增，所有值都小于1，所以a≥0。

故使在t∈[0,+∞)上恒成立，实数a的取值范围是0≤a≤1。

点评：质点运动函数s(t)的导数s'(t)的物理意义就是质点在时刻t的瞬时速度。利用导数的物理意义列出不等式，根据不等式在t∈[0,+∞)上恒成立，求出a的取值范围。

三、结束语

综上所述，近些年高考试题命题方式呈现出考查基础知识和能力相结合的特点，体现并渗透出新教材的教育理念，结合了新课程中的新思想和新方法，而且以基础知识和综合能力两者为重点，在众多知识点中寻求交叉点，并以此为考点命题，可以提高学生的思维能力、预算能力以及应用能力等。

参考文献：

[1] 李家煜.高考函数问题解读[J].中学数学教与学，2004(2).

[2] 李昭平.高考中函数问题新趋势透视[J].中学数学教与学，2007(1).

[3] 王秀奎,高然明.例谈高考函数问题的几个热点[J].中学数学教与学，2005(2).

[4] 郑兴明.高考知识交汇热点透视[J].数学教学通讯,2006(1).