导数在高中文科数学中的主要考查点
2014-04-29肖自萌
肖自萌
摘要：导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性质，导数能帮助那些之前没学好解析式、值域、最(极)值、单调区间等函数问题以及切线问题、不等式问题、数列问题的学生重新认识这些知识点，而且导数在高中数学中占有很大的比例，在高考中，它是重点的考察内容。
关键词：导数；新课程；应用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)07-0135
导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，导数的问题具有综合性强、方法灵活的特点，它不仅考查学生基础知识、基本方法的掌握情况，也能考查学生创造思维能力，以及学生继续学习高数的潜质，本文主要阐述笔者对导数的浅薄认识。
一、导数在高中数学新课程中的地位
《数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。在选修1-1和选修2-2中都选择了导数及其应用。显然，导数的重要性不言而喻。
1. 有利于学生更好地理解函数的性质、掌握函数的思想
数形结合是高中数学的重要思想方法，它能让我们更快、更准确地得出答案，而这里准确作图是关键的一步，如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如y=x3-2x2+x-1，y=ex-x-1等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；这样根据这些性质，学生能够画出更加准确的图像，进而用数形结合进行解题。
其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，还是解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题。
2. 有利于学生弄清曲线的切线问题
学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线。如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道f(x)在点x=x0的切线斜率k，正是割线斜率在x→x0时的极限，即
k=lim
由导数的定义k=f ′(x)，，所以曲线y=f (x)在点(x0，y0)的切线方程是y-y0=f ′(x0)(x0，y0)
这就是说：函数f在点x0的导数f ′(x0)是曲线y=f (x)在点(x0，y0)处的切线斜率。
从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C及C上的一点P，在点P外另取曲线C上一点Q，作割线PQ，当点Q沿曲线C趋向点P时，如果割线PQ绕点P旋转而趋向极限位置PT，那么直线PT就称为曲线C在点P处的切线。
二、导数在解题中的应用
导数给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列等实际问题带来了新思路、新方法，而高考中导数的应用更是层出不穷，以下我们看看导数的类型题。
1. 利用导数解决函数问题
(1)利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加地明了。
例1. 已知函数f(x)=的图象在点M(-1，f(-1))处的切线的方程为：x+2y+5=0。求函数的解析式。
解：由函数f(x)=的图象在点M(-1，f(-1))处的切线的方程为：x+2y+5=0知：-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，f ′(-1)=-。
∵f ′(x)=，解得：a=2，b=3(∵b+1≠0，b=-1舍去)。所以所求的函数的解析式为：f (x)=
(2)利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握。但是，如果学生采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行。
例2. 求函数y=x2-2x+5，x∈[0，3]的值域。
分析：先确定函数的定义域，然后根据定义域判断f ′(x)的正负，进而求出f (x)函数的值域。
解：由y′=2x-2=0得x=1，又x=1，y=1-2+5=4，又x=0时y=5，x=3时，y=9-6+5=8，∴函数的值域为[4，8]。
注：变式的解法很多，除了答案中给出的导数的方法外，还可以利用配方来求解：y=x2-2x+5=(x-1)2+4，∵0≤x≤3，∴-1≤x-1≤2，∴0≤(x-1)2≤4，∴4≤(x-1)2≤8，即值域为[4，8]，另外，我们还可以结合二次函数的图象来进行求解。
(3)利用导数求函数的最(极)值
求函数的最(极)值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确函数的性态。
一般地，函数f(x)在闭区间[a，b]上可导，则f(x)在[a，b]上的最值求法：(1) 求函数f(x)在(a，b)上的极值点；(2)计算f(x)在极值点和端点的函数值；(3)比较f(x)在极值点和端点的函数值。
例3.求函数f(x)=x4-8x2+2在区间[-1，3]上的最大值和最小值。
分析：先求出f(x)的极值点，然后比较极值点与区间[-1，3]端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值。
解：f ′(x)=4x3-16x=4x(x+2)(x-2)，令f ′(x)=0得x1=-2，x2=0，x3=2。导数f ′(x)的正负以及f(-1)，f(3)如下表：
从上表可以看出，当x=3时，函数有最大值11；当x=2时，函数有最小值14。
(4)利用导数求函数的单调区间
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质。函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑f ′(x)的正负即可，当f ′(x)>0时，f(x)单调递增；当f ′(x)<0时，f(x)单调递减。此方法简单快捷而且适用面广。
例4. 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1，试确定a，b的值，并求出f(x)的单调区间。
分析：应先利用极值确定f(x)函数中的参数a，b，再利用导数讨论其单调区间。
解：f ′(x)=3x2-6ax+2b根据题意有x=1是方程f ′(x)=0的一个根，则3-6a+2b=0，又f(1)=1-3a+2b=-1解得a=，b=，此时f(x)=x3-x2-x，f ′(x)=3x3-2x-x，由f ′(x)>0得x<-或x>1；由f ′(x)<0得- 2. 利用导数解决切线问题 求过某一点的切线方程，这种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，f ′(x0)的几何意义就是曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，过点P的切线方程为y-f(x0)=f ′(x0)(x-x0)，但应注意点P(x0，f(x0))在曲线y=f(x)上，否则易错。
例5. 若曲线y=x2+1的切线垂直于直线2x+6y+3=0，试求这条切线的方程。
分析：此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程
解：容易求y′=3x，因为切线垂直于直线2x+6y+3=0，所以切线的斜率为3，令f ′(x)=0得x0=1，所以切点的坐标为(1，)，所以所求的切线的方程为y-=3(x-1)，即6x-2y=0。
3. 利用导数解决含参不等式问题
纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点。利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接地等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题。
例6. 已知函数f(x)=x3-x2+bx+c，若f(x)在x=1时取得极值，且x∈[-1，2]时，f(x) 分析：f(x) 解：由题意得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，设另一根为x0，则，x0+1= x0×1= ∴x0=- b=-2，∴f(x)=x3-x2-2x+c，f ′(x)=3x2-x-2，当x∈(-1，-)时，f ′(x)>0，x∈(-，1)时，f ′(x)<0，x∈(1，2)时，f ′(x)>0，∴当x=-时，f(x)有极大值+c，又f (-1)=+c，f(2)=2+c，即当x∈[-1，2]时，f(x)的最大值为f(2)=2+c，∵当x∈[-1，2]时，f ′(x) 5. 利用导数解决实际问题 利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题。学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力。近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便。 例7. 某商场从生产厂家以每件元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q=8300-170p-p2，问该商品零售价定为多少时利润L最大，并求出最大利润(利润销售收入进货支出)。 解析：L=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000且p>20。求导得L′=-3p2-300p+11700，令L′=0得p=30或p=-130(舍去)，并且当p<30时，L′>0，p>30时，L′<0，则当p=30时，L取得极大值，最大值为21000元。即当该商品零售价定为30元时利润最大，最大利润为21000元。 三、结束语 导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础。因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义。
