一类极限问题简化解法的启示

王建辉　张平　高兴花

摘 要 极限的概念是微积分中最基本的概念，微积分中的许多概念都是以极限的形式给出的。同样，极限的运算方法也是微积分中最重要的方法之一，微积分许多定理和性质都要以极限的方法来证明，我们可以通过多种方法解决一些初等函数的极限问题，但有一些问题用常规方法解决的话，显得比较繁琐，学生不容易接受。笔者在教学过程中进行了一些尝试，发现并总结了一些更适合于学生的规律和方法，下面就来探讨一类极限问题的简化解法。

关键词 观察和分析 总结和探讨 事半功倍

中图分类号：G71 文献标识码：A

极限的概念和方法是微积分中最基本的概念和最重要的方法之一，特别是对于一些初等函数的求极限问题，不同的函数类型有不同的方法，我们还要具体问题具体分析，针对不同的类型找出相应的方法。在求极限时我们经常会遇到这样一种类型：

这里为常数，且a0≠0，b0≠0，m，n为正整数。对于这种类型，通常情况下我们会采用以下两种解法：解法一是通过分子、分母同除以分子、分母的最高次幂，将无穷大量转化为无穷小量，再根据极限的运算法则求出该函数的极限。解法二是利用导数在极限中的重要应用——罗比达法则，分子、分母分别求导，进而求出该函数的极限。

观察例1解法不难看出，分式的分子、分母都是按降幂排列的。在解法一中，当分子、分母同时除以x3后得到了，其分子、分母从第二项起，每一项都无穷小量，从第三项起，每一项都是前一项的高阶无穷小量。因此，不管是分子还是分母，其极限值取决于第一项（次数最高的项）。在解法二中，当连续三次使用罗比达法则后得到了，其分子、分母也是由原来分子、分母的第一项（次数最高的项）求导得到的。

故的值只与分子、分母的第一项有关，与后面的项无关，解法可简化为：。

例1中分子、分母的最高次幂的次数是相等的，对于分子、分母最高次幂的次数不相等的情况又会怎样呢？

观察例2解法不难看出，分式的分子、分母也都是按降幂排列的。在解法一中，当分子、分母同时除以后得到了，其分子的每一项都无穷小量，从第二项起，每一项都是前一项的高阶无穷小量；其分母从第二项起，每一项都无穷小量，从第三项起，每一项都是前一项的高阶无穷小量。因此，不管是分子还是分母，其极限值取决于第一项（次数最高的项）。在解法二中，当连续三次使用罗比达法则后得到了，其分子是由原来分子的第一项（次数最高的项）求导得到的，其分母的值主要取决于24x，而24x也是由原来分母的第一项（次数最高的项）求导得到的。

如果分子的最高次幂次数比分母高，我们可以先取倒数，转化成分子的最高次幂次数比分母高低的情况来解。

综上所述，的值只与分子、分母的第一项有关，与后面的项无关，故解法可简化为：

通过观察与分析，总结出了对于该类型的极限的更加简洁的求法，得出的规律更便于学生掌握。所以在学习数学时，我们要善于引导学生进行观察和分析，勇于总结和探讨，在总结中找出规律，加深对问题的理解，提高学生的分析问题、解决问题的能力。