对流—反应—扩散边值问题的有限差分方法求解

张新蕾

【摘要】本文介绍了对流-反应-扩散方程，及有限差分法和迎风差分法的发展过程.然后对中心差分格式、一维差分格式及迎风差分格式做了简单的说明，并通过一个例子对一般有限差分法和迎风差分法在求解对流占优的对流-反应-扩散方程的优劣进行了比较.

【关键词】对流占优问题；迎风差分法

一、对流-反应-扩散方程

对流-反应-扩散方程是一类基本的运动方程，它对对流-反应-扩散问题的数值计算有着十分重要的理论意义及实际应用问题，可用于环境科学、能源开发、流体力学等科学领域.其中对流-反应-扩散方程的定解问题是一种物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型，它可以用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热传导等众多物理现象.由于对流-反应-扩散方程有着诸多用途，求解此方程的方法一直受到学者的重视.

二、对流-反应-扩散方程的解法

有限差分方法自20世纪50年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单、直观.虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位，是应用最多的一种数值方法.为求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网格离散节点的集合，并以各离散点上函数的差商来近似该点的偏导数，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程，根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值——离散解.

然而，在求解加权偏微分方程的近似解时，直接使用数值方法有可能产生严重的问题，例如：振荡、锁定及奇异矩阵等其他问题.其原因可能是因为忽略了与其中某个具体问题相对应的基本规则.我们以对流-反应-扩散方程中对流占优问题为例，对流占优问题对数值分析的方法的可用性进行了分类.有些方法在非对流占优问题上可以很好地应用，但在对流占优问题上却不能使用.这一点在应用BubnovGalerkin方法的检测函数设置的和形函数相同时尤其明显.在实际应用中，这些检测函数和形函数通常是有限元方法，也就是需要网格的方法.在以最小能原理为基本思想的结构性分析中，如果是非对流占优问题，应用BubnovGalerkin方法可以得到对称矩阵和最优近似结果.但是在对流占优问题下，情况却完全不同，与平流项相关的矩阵是非对称矩阵，而且所得出的解也不再是最优近似解，结果中出现了寄生振荡，这种情况随着对流项优势的增加而愈发严重.这不仅导致定性分析的结果不准确，甚至会违反基本的物理原则，像熵、浓度的界为正等.我们已经知道这种振荡解产生的原因主要由微分方程中占优势的对流项决定.对流项的作用由一些已知的识别数决定，像是Peclet数和Reynolds数，这些数越大，那么对流项所占优势越大，解的振荡越强烈.由此我们引入迎风差分法.

迎风格式是流体力学中有限差分法的一种离散格式，由于是采用由下游向上游差分的方法代替微分，看起来似乎是迎风而上的差分格式，所以人们又叫迎风差分格式.而迎风格式又可以分为一阶迎风格式和二阶迎风格式，其中，一阶迎风格式容易获得不准确的解，除非划分足够细密的网格，而且有一定的假扩散的作用，即人工黏性.为此引入二阶迎风格式，这种格式可以获得较准确的近似解，并且绝对的稳定.

因此本文将简单地介绍一般有限差分法和迎风格式，并通过求解一个示例来对一般差分法和二阶迎风格式的精确度与稳定性进行比较.

三、迎风差分法介绍

对流项优势加强，一般差分法振荡更加严重.

五、小 结

由以上示例可知，一般差分法在对流占优的情况下所得的近似解会出现振荡，并且对流项的优势越明显振荡越严重.虽然随着节点密度的增加振荡会减轻，但是要得到精确度高的近似解要求所取节点密度很高.而迎风差分法则不存在近似解振荡的现象，要得到高精度的近似解所取的节点数要少于一般差分法，这在计算上节约了时间，对计算机的要求也有所降低，更加符合最小能量原则.因此，在求解对流-反应-扩散问题时，迎风差分法要优于一般差分法.

【参考文献】

[1]A Review of PetrovGalerkin Stabilization Approaches and

an Extension to Meshfree Methods—ThomasPeter Fries，Hermann G.Matthies 、Institute of Scientific Computing Technical University Braunschweig Brunswick，Germany Informatikbericht Nr.2004-01 March 30，2004.

[2]李荣华，冯果忱.微分方程数值解法（第三版）.高等教育出版社.