从教材角度解读小学阶段的分数定义

高碧云

在小学阶段的分数概念教学中，很多教师都遇到了不同的问题和困惑，基于这些问题和困惑笔者作了以下几方面的思考：为什么每次教学过程中都会出现一些类似的问题？例如：分率和份数不清晰，单位“1”不明确等. 为什么这些问题会普遍存在于不同年段？小学阶段的分数到底如何定义？笔者查阅了一些资料，分数定义可以从四方面来进行定义，而小学阶段可以从其中的三个方面来定义，那就是分数的份数定义、商定义以及比的定义，苏教版教材也正是从这三方面进行编排的：

一、份数定义——部分与整体的关系定义

数是小学数学学习的基本内容，分数认识是小学阶段的重要内容，它比整数概念更为抽象，也是学生对数的认识的一次重大飞跃. 追述历史的发展，回顾分数的产生，分数概念起源于“分”，是用来解决生产和生活中“不满一个单位量的量”的数值问题.

苏教版教材在三年级上册安排了学生初次接触均分单个物体的认识分数，让学生经历了分数产生的最真实过程，建立了部分与整体之间的关系认识的思维方式；三年级下册安排了一次再认识，将对单个物体的认识拓展至多个物体，加深并丰富对分数概念的认识；而更进一步的认识是在五年级下册的第三次认识分数，在丰富认识的基础上逐渐提取和抽象出单位“1”，整合并完善对分数概念的内涵认识，形成分数单位的认识. 经过这样的三次推进式的认识，学生对于分数的份数定义才能完整和丰富，并形成部分与整体的关系思维方式.

在份数定义的教学过程中，由于三年级的第一次和第二次的认识没有涉及分数的商定义，导致很多学生学完了三年级的分数，只会在均分之后说分数，而不能用分数表示一个具体的实际情况，这个问题在分数的第二层定义——商的定义的教学中将会更加凸显.

二、商的定义——分数与除法的关系定义

用份数定义来引入分数是学生最容易接受也是最自然的，然而它却并不能很好地体现分数的本质：分数是一个不同于自然数的“新数”. 而当前面的三次认识分数过后，很多老师都会有一种感觉，就是学生大都能理解分数的份数定义，而很少愿意将分数作为一个“数”来表示结果. 因此我们必须尽快地从分数的份数定义过渡到分数的“商”定义：即分数是正整数a除以正整数b的商，记为. 用a除以b，当能整除时，结果仍是“老朋友”——自然数；不能整除时，商就是我们的新朋友——分数. 在数轴上我们可以看到原来的自然数离散地分布在数轴上，现在的分数密密麻麻地填在数轴上，可见这是人类对数的认识的一次完善过程，也是分数是数的本质体现. 这个认识过程是在五年级下册的第三次认识分数之后出现的，也就是“分数与除法的关系”，教材的意图也是为了更加深化对分数的本质认识，因此这部分内容其实是有着点睛之笔的妙处的，可是大部分的教师现在对于这部分内容却重视不够，认为这只是将分数与算式结合起来的一个环节而已，在教学中总是简单地一带而过，将形式机械地告诉学生，让学生照着做，而这恰恰是我们学习分数的本质所在，教师们不会想到他们忽略的是对分数本质认识的一次最佳机会.

回顾整个认识分数的过程，经历了从三年级到五年级三年之久，但是分数与除法的关系却在三年后才出现，在经历了这么多次的份数定义的认识之后学生的思维已经形成了一种思维定式，教材非常明确地指出“半个也就是二分之一个”，从一开始教材就让分数以一个“数”的身份出现在学生的面前，而下面的“把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的二分之一”是分数的产生过程，它与分数作为一个比1小的新数并不冲突. 因此在第一次接触分数时就可以让学生充分体验到均分过程中的除法意义，同时在均分过程中理解分数的产生过程中部分与整体的关系. 如果学生经历了这样的分数初步认识过程，相信在后续学习中也许就不那么容易出现“不愿意用分数做商”的这种现象了吧！这里特别需要提出的是四年级这个“断层”期，苏教版的教材中四年级是没有安排分数认识这个内容的，但是有小数的初步认识和单位换算的内容，其实这是一个非常好的分数“消化”期. 而在实际教学过程中，教材中的这些巧妙安排都被教者忽略掉了，错失了一次又一次的认识机会.

三、比的定义——两个数量的相对关系定义

分数的第三个定义是比的定义：两个自然数a和b，b ≠ 0，把比值叫做分数. 比和除，本来是一个问题的两个方面，有了比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔，教材在六年级安排了比的认识. 记得张奠宙教授做过这样一次统计：他们组织了100多名学生，分别来自三、四、六年级. 给他们看屏幕上的一个圆，这个圆被均分成4份，其中的一份被涂成蓝色. 然后问学生，你看到了哪些分数呢？让他们想两分钟，尽量写出答案. 调查结果如下表：

从这个小调查可以看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定式还是太强了. 灵活地选择整体是理解分数的重要一步. 学生为什么看不到1份与3份的比的关系？如果教师能将份数定义和比的定义进行有机结合教学，学生的视野和思维都会有明显的拓展. 可见分数的这三个定义在小学阶段不是独立存在的，而是相互促进，不断生成的. 教师自身必须具备对分数本质定义的清晰认识，才能在不同阶段的教学中抓住本质不断延伸，逐步深入地引导学生在一次又一次的分数认识过程中认识分数的本质定义.

回顾本文开头笔者提出的问题，以及上述小学阶段的整体教材分析和分数定义的解读之后，我们不难看出：教师只有具备了清晰而完整的分数定义的结构认识，清晰地意识到每一阶段的教学本质所在，并能在教学中考虑到学生知识储备的前移后续，才能使分数定义教学真正充满生命的活力，绽放出数学学科的魅力光芒！