方法技巧：先设后求以退为进

傅建红

笔者在运用空间向量解决立体几何中的平面翻折问题时发现，在建系之后的空间图形中，底面上各点的坐标相对容易量化，但折起之后，由底面上升到的空间的相应点（本文称之为“折起点”）的坐标，有时难以直接标注，而该点却往往是问题的核心之点. 一旦坐标得以量化，则整个问题的难点随即“土崩瓦解”. 因此，如何有效量化“折起点”的坐标是解决这类问题的关键. 笔者探究发现，在“折起点”坐标难以直接标注的情况下，采用“先设后求、以退为进”不失为一种有效的方略，即欲求“折起点”坐标，先设其坐标为（x，y，z），由该点向底面引垂线（退回平面），垂足的坐标即为（x，y，0）（设底面为xOy平面），通过翻折问题的几何性质解出x，y；然后再返回到“折起点”中（进到空间），根据已知条件或翻折性质，求出竖坐标z，从而求得“折起点”坐标. 由于在底面求解x，y时，须借助翻折问题的几何性质，为此，笔者下面先介绍相关性质，然后例谈如何具体求出“折起点”坐标.

平面翻折问题的实质是平面绕轴的旋转问题，因此，同一平面在翻折前与翻折后各几何元素间的位置、大小关系均保持不变，由此可推出如下性质：

性质2 如图1，将△ABC沿直线AB折起至△ABC1，设折起点C1在△ABC所在平面内的射影为H，则HC⊥AB.

证明：因为C1H⊥底面ABC，所以AB⊥C1H，又由性质1知AB⊥CC1，所以AB⊥平面C1HC，所以AB⊥HC，即HC⊥AB.

性質3 如图1，将△ABC沿直线AB折起至△ABC1，设P是直线AB上任意一点，则PC1=PC.

证明：因为PC1是PC经平面翻折之后的线段，所以PC1=PC.

性质4 如图2，四边形ABCD中，E是AD的中点，∠AEB=∠DEC，将△AEB，△DEC分别沿直线EB，EC折起至△SEB和△SEC，使得A，D重合于S点，设S在底面ABCD上的射影为O，则O在∠BEC的平分线上.