抛物线性质归纳与推广

周小芬

摘要：在圆锥曲线教学中，抛物线是重要的教学环节，它具有很多、很美、很重要的性质。本文拟对此类特点进行探究并对其性质进行归纳与推广。

关键词：抛物线；焦点；直线；圆

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2014)06-0154

在圆锥曲线教学中，我们发现抛物线有很多、很美、很重要的性质。而很好地掌握这些性质对于圆锥曲线特别是抛物线的学习很有帮助。

性质1：过y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积为定值，且xAxB＝■，yAyB=-P 2。

证明：当直线的斜率不存在时，如图(1)，此时直线的方程为x＝■，所以A，B两点的坐标为A(■，-P)，B(■，P)，所以 yAyB=-P 2，xAxB＝■。

当直线的斜率存在时，如图(2)，假设斜率为k，则直线的方程为y=k(x-■)，y=k(x-■)和y2=2px联立消去x得：ky2-2py-kp2=0，所以，

yAyB=-P 2，y=k(x-■)和y2=2px联立消去y得：k2x2-p(k2+2)x+■=0

所以xAxB＝■。

性质2：过y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则■+■为定值，且■+■=■。

证明：当直线的斜率不存在时，如图(1)，此时直线的方程为x=■，

所以A，B两点的坐标为A(■，-p)、B(■，p)，所以■+■=■成立。

当斜率存在时，如图(2)，假设直线AB的倾斜角为θ，则直线AB的参数方程为x=■+tcosθy=tsinθ(θ为参数），与y2=2px联立得sin2θt2-2pcosθt-p2=0

∴■+■=■=■=■=■=■

性质3(焦点弦长公式)：过y2=2px(p＞0)的焦点的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则AB=tA-tB=■=■

证明：当直线斜率不存在时，

如图(1)，此时θ＝■时，AB=2p=■

当直线斜率存在时，如图(2)，由性质2可知，

AB=tA-tB=■=■=■

注意：过抛物线的焦点的弦长存在最小值，不存在最大值：当时θ=■，ABmin=2p，此时称弦AB为抛物线的通径。

性质4(焦三角形面积公式)：过y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，则三角形OAB的面积S△OAB=■。

證明：当直线斜率不存在时，如图(1)，∵θ=■，∴S△OAB=■

当直线斜率存在时，如图(3)，

过O作OH⊥AB，则OH=■sinθ

∴S△OAB=■AB·OH=■×■×■=■，

∵0≤θ≤180°，∴0≤sinθ≤1

∴θ=■时，S△OAB最小值■。

注意：三角形OAB的面积存在最小值 ：当θ=■时，S△OAB最小值■，不存在最大值。

性质5：过y2=2px(p＞0)的焦点Ｆ的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，以弦AB为直径的圆必与抛物线的准线l相切。

证明：如图(4)所示，取AB中点为C，过C作CC′垂直准线，过A作AA′垂直准线，过B作BB′垂直准线，则CC′=■(AA′+BB′)=■AB=r

性质5推广(1)：过y2=2px(p＞0)的焦点Ｆ的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，过A作AA′垂直准线，过B作BB′垂直准线，以A′B′为直径的圆必与AB相切，且切点为焦点Ｆ，半径为r=p■

证明：

当斜率不存在时，明显成立

当斜率存在时，假设斜率为k存在时，如图（5）所示，

设直线为y=k(x-■)圆心坐标为(-■，■)

∴y=k(x-■)和y2=2px得：ky2-2py-kp2=0

∵yA+yB=■和yAyB=-p2

∴yB-yA=■

=■=2p■

∴(x+■)2+(y-■)2=(p■)2

点到直线的距离为d=■=p■∴相切

又∵圆心到焦点的距离为OF′＝■=p■=r，所以相切与焦点F。

性质5推广(2)：已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为Ｆ，过焦点Ｆ的一条直线和抛物线交于A(xA，yA)、B(xB，yB)两点，点A′，B′为A，B在准线上的射影，焦点Ｆ对A，B在准线上的射影张角∠A′FB′=90°

解：由性质5推广(2)得，Ｆ点在以A′，B′为直径的圆上，∴∠A′FB′=90°

性质6：已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为Ｆ，过焦点的两条弦AB与CD，当倾角互补时，则AF·FB=CF·FD。

证明：如图(6)所示，

设AB方程：x=■+tcosθy=tsinθ(θ为参数），CD方程：

x=■-tcosθy=tsinθ(θ为参数）

与y2=2px联立，分别得：

sin2θt2-2pcosθt-p2=0或sin2θt2+2pcosθt-p2=0

∴tAtB=■和∴tCtD=■

∴tAtB=tCtD，AF·FB=CF·FD成立

性质6推广(1)：已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，过任意一点Ｍ(x0，y0)作倾斜角互补的两直线与抛物线分别交于A、B和C、D两点，求证：MA·MB=MF·MD。

证明：如图(7)所示，设AB方程：x=x0+tcosθy=y0+tcosθ(θ为参数）

CD方程：x=x0-tcosθy=y0+tcosθ(θ为参数）

与y2=2px联立，分别得：

sin2θt2+(2y0sinθ-2pcosθ)t+y0-2px0=0

sin2θt2+(2y0sinθ+2pcosθ)t+y0-2px0=0

∴tAtB=■同理∴tCtD=■

MA·MB=MC·MD成立。

性质6推广(2)：对于椭圆或双曲线，过任意点M，作两条倾斜角互补的直线与椭圆或双曲线交于A、B和C、D，则MA·MB=MC·MD。