基于GARCH模型的上证综合指数收益率波动的实证研究

【摘要】文章选取上证综合指数2012年1月4日至2012年12月31日的日收盘数据为研究对象，针对其收益率序列，运用GARCH模型对上证综合指数进行拟合和检验。分析结果表明，上证综合指数收益率序列具有明显的异方差性、波动性和持续性，同时上证综指有较高的风险溢价现象。

【关键词】GARCH模型 收益率 上证综合指数

前言

股票资产收益波动性的研究是当前股票市场研究的核心问题之一。由于上证综指具有跨期性、杠杆性、联动性、高风险性等显著特点，且各种风险因素相互关联，难以独立的评估和预测。GARCH模型非常适和分析和预测的金融波动性，对投资者的决策有很重要的指导作用[1]。因此，文章希望通过对上证综指的GARCH性质以及波动性的研究，挖掘其内在规律，对市场风险和指数进行简单评估和预测，有助于投资者进行比较和决策，减少投资者的风险和损失。

一、GARCH模型的简介

GARCH模型是对ARCH模型的改进和完善，自从Engle提出ARCH模型之后，Bollerslev在Engle基础上提出了GARCH模型，GARCH（p，q）模型公式为[2]：

ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关过程，相比于ARCH模型，GARCH模型更能反映实际数据中的长期记忆性质。（1-1）式称为条件均值方程；（1-2）式称为条件方差方程，说明时间序列条件方差的变化特征。

二、上证综合指数收益率数据特征统计分析

本文选取上海证券交易所2012年1月4日到2012年12月31日的日收盘价格数据，利用EXCEL做简单的公式转换求出上证股票的收益率2012年1月4日到2012年12月31日的242个数据作为研究对象。股票的收益率用收盘价格的指数的对数差来表示，公式为：

其中St-表示上证综合指数的收盘价，Rt-表示收益率。

首先对上证综指数收盘价数据做基本分析，通过图1可以直观地观察上证综合指数的股票收盘价格走势图。

图2可以看出，上证综指收益率具有明显的波动集群现象，某些时间段内波动性较大，某些时间段内波动性较小。为了更深入地分析数据，我们做如下数据基本统计分析。

由图3基本统计特征可知，股票收益率的峰度（Kurtosis）为4.649013，大于正态分布的峰度值3，由此可以看出上证综合指数的收益率序列的特征有尖峰和厚尾的特性。P值為0.00000，拒绝上证综指收益率序列服从正态分布的假设。

图4收益率的Q-Q图中，直线代表正态分布，收益率序列在中段接近直线而在两端偏离直线，这是厚尾分布的特征。厚尾特征的出现一般而言有两方面原因：一是信息集中出现导致指数大幅波动；二是信息的作用没有立刻在期货市场显示出来，大量信息的积累导致了大幅的波动。

三、上证综合指数收益率模型的建立

（一）平稳性检验

数据变量的平稳性是传统的计量经济分析的基本要求之一。只有模型中的变量满足平稳性要求时，传统的计量经济分析方法才是有效的。而在模型中含有非平稳时间序列式，基于传统的计量经济分析方法的估计和检验统计计量将失去通常的性质，从而推断得出的结论可能是错误的。因此，在建立模型之前有必要检验数据的平稳性。

对上证综合指数收益率时间序列进行平稳性检验，检验结果如表1所示：

表1 上证综合指数收益率ADF检验

由表1可知，-16.23493<-3.4574，因此上证综合指数收益率时间序列为平稳序列。

（二）相关性检验

对已求出的242个上证股票收益率做相关性检验，结果如下图：

由相关检验图可以看出，收益率序列的自相关系数（AC）和偏自相关系数（PAC）都在两倍标准差之间，由此可以看出收益率序列不存在自相关性和偏自相关性。考虑到收益率序列不存在相关性，因此在均值方程中不存在均值回归因子，可以用线性方程来拟合。

（三）收益序列ARCH效应检验

以上证综合指数序列{S1}为基础，为了减少舍入误差在估计时对序列{S1}进行自然对数处理，将处理的结果{ln（St-1）}最为因变量进行估计。估计的基本形式假定为[3]：

ln（St）=c+ρ×ln（St-1）+μt （3-1）

其中c为常数，利用最小二乘法估计得到如下方程：

ln（St）=0.019+0.997×ln（St-1）+μt

（0.0083）（0.000）

R-squared=0.9971 Log likelihood=11644.2

AIC=-4.983 SC=-4.981

从拟合结果可以看出拟合程度非常显著，系数的和小于1，并且残差经过检验平稳。

观察残差图，可以注意到波动的成群现象明显，这说明误差项可能具有条件异方差性。

因此，需要运用ARCH-LM检验（3-1）式的条件异方差。

在此检测中，原假设为：回归方程的随机误差满足同方差性。对立假设为：回归方程的随机误差满足异方差性。判断原则为：如果nR^2>chi^2（k-1），则原假设就要被否定，即回归方程满足异方差性。

对收益率序列进行不同滞后期的进行回归方程以后残差序列进行此项检验，结果汇总如下：

表2中P值为0拒绝原假设，因此认为收益率序列存在ARCH效应，并且由5阶ARCH-LM检验结果来看P值仍然很小，即残差序列存在高阶ARCH效应，应考虑建立GARCH（p，q）模型。

（四）模型的选择

为确定GARCH模型的阶数，以下列出不同的系数组合所得到的AIC和SC。

通过AIC和SC的比较可知，在上述模型中，GARCH（2，3）和GARCH（1，1）是上述模型中较好的两个模型，为了降低参数估计的复杂程度，我们选择GARCH（1，1）模型进行参数估计。回归结果表示为：

ln（St）=0.033+0.996×ln（St-1）+×μt （3-2）

（0.00）（0.00）

σ2t=4.46×10-6+0.9118×σ2t-1+0.0775×μ2t-1 （3-3）

（0.000） （0.000） （0.000）

AIC=-5.6603 SC=-5.3436

R-squared=0.99712 Log likelihood=12487.7

相比较最小二乘法的结果，对数似然值有所增加，AIC和SC都有所减小，说明GARCH（1，1）模型能够较好地拟合数据，对方程（3-2）进行ARCH-LM检验，残差序列的统计结果：

由表4可知，此时该序列不存在ARCH效应，说明利用GARCH（1，1）模型消除了方程的残差序列的条件异方差性。

残差检验结果图如下：

由图7可知自相关系数和偏自相关系数都极小，近似等于0，Q统计量大于显著程度，说明不显著，同时也证明了残差序列不存在ARCH效应。

方差方程式中ARCH项和GARCH项之和为0.988小于1，满足参数的约束条件。因为系数之和比较接近1，由此说明条件方差所受的冲击是持久的。

四、结论

由GARCH（1，1）模型参数估计结果可知，GARCH项的系数为0.988，同时通过了显著性检验，由此证明上证综合指数的股票价格具有“长久的记忆性”，也就是前期股票价格的波动对后期股票价格波动的大小有一定的影响；同时表明上证综指有较高的风险溢价现象，即股市波动越大，其存在的风险也越大，同时收益率也越高。

分析結果表明，上证综合指数收益率序列具有明显的异方差性、波动性和持续性，同时上证综指有较高的风险溢价现象，即股市波动越大，其存在的风险也越大，收益率也越高。

方差方程式中ARCH项和GARCH项之和为0.988小于1，满足参数的约束条件。因为系数之和比较接近1，由此说明条件方差所受的冲击是持久的。

另外模型的ARCH项和GARCH项的系数都是正数，由此说明股票过去的价格波动对未来股市的波动有着正向而减缓的作用，表现出波动性的集中出现。

参考文献

[1]韦艳华，张世英.金融市场的相关性分析——Copula-GARCH模型及其应用[J].系统工程，2004，（4）：7-12.

[2]李基梅，刘青青.VaR-GARCH模型在我国股指期货风险管理中的应用[J].山东理工大学学报（自然科学版），2009，（4）：73-76.

[3]王玉荣.中国股票市场波动性研究-ARCH模型族的应用[J].河南金融管理干部学院学报，2002，（5）：25-38.

基金项目：院级科研项目（2012zrky09）及广西教育厅项目（2013LX144）。

作者简介：江伟（1972-），男，汉族，广西贺州人，讲师，研究方向：金融统计。