数学解题错误分类例析

刘渊枢

【摘要】数学解题错误是学生在数学学习过程中的普遍性行为。本文旨在通过对错误进行合理分类，从心理上、知识上、逻辑上和策略上等进行系列分析，精确归因，从而有的放矢，既为教师提供可靠的教学反馈，以便适时调整教学方案；又可提升学生自我纠错能力，并获得有益的心理发展。

【关键词】解题错误 认知结构 逻辑性错误 充要条件

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）02-0154-02

逻辑性错误是指学生在解题过程中由于违反逻辑思维的形式和规律而产生的错误，虽然逻辑性错误在本质上也可归类为知识性错误，但导致解题出错的知识盲点不是具体的数学知识而在于逻辑，是因为学生在解题过程中违反了逻辑思维的形式和规律而产生错误。笔者把在教学实践过程中出现的常见逻辑性错误进行细分，并以具体案例说明如下。

一、分类讨论不当

分类是揭示概念外延的逻辑方法，解答数学习题时经常需要进行分类讨论，其依据是形式逻辑中关于概念划分的规则：（1）分类应该是相应对称，即划分所得的子项外延总和应该等于母项的外延（也可以简称为不重不漏）；（2）应该按照同一标准来进行；（3）子项要互相排斥，即子项的外延之间是不相容的并列关系，不能交叉或从属；（4）若需多级划分，应按层次逐级进行。

类似的分类讨论不全有：首项系数有字母时字母为0的讨论；二次函数定（动）区间关于对称轴位置的讨论；直线方程斜截式关于斜率不存在情况的讨论……都是学生在学习过程中经常出现的分类讨论不全问题。对于教师来说，在教学过程中就要重点强调，并让学生把此类易错问题做为材料积累起来，以起到“免疫”的效果。

二、虚假论证

这是典型地违反逻辑思维的充足理由律，以虚假的命题（或未经证明的真命题）作为推论的依据。

例2. 如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH 是平行四边形。⑴求证：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角为 （变量）， AB=a， CD=b（a、b是定值），求截面EFGH面积的最大值。

错解：（1）四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，又平面EFCD∩EFGH=EF，EFGH∩CDGH=GH，EFCD∩CDGH=CD，故EF∥GH∥CD，则CD∥平面EFGH。（误把教材中的课后题“三个平面两两相交，则三条交线平行或交于一点。”当作定理来用。）

四、循环论证

每个命题都是由论题、论据和论证构成。论题真实性有待证明的命题；论据是证明论题真实性所依据的真命题。它必须满足两个条件：（1）论据必须真实；（2）论据的真实性不能依赖论题的真实性。而论证是论题和论据之间的联系方式或推理形式。在推理或证明的过程中，如果违反论据规则的第（2）个条件，即论据的真实性依赖于要证的命题的真实性，这种逻辑上的错误就称为循环论证。

参考文献：

[1]戴再平.《数学习题理论》.上海：上海教育出版社，1996第二版

[2]張奠宙，过伯祥.《数学方法论稿》.上海：上海教育出版社，1996

[3]波利亚（美）.《怎样解题》.上海：上海科技教育出版社 2011