例析探索规律型问题

朱兵

【摘要】 近年来有关规律探索型题目在初中数学中考试题中频繁出现，这类题目要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，不仅有利于促进学生数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养.

【关键词】 规律型；初中数学；探索型；解决；归纳；总结

近年来，探索规律型的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律. 这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，越来越引起考生重视. 本文就这类题目加以归类解析.

一、数字规律探索型

此类问题一般是有规律地呈现一组数字，为便于发现规律，常可将每个数字化为有规律的等式，并通过竖排易于用代数式、方程、函数、不等式等数学模型表示事物的数量关系、变化规律的过程.

例1 观察一列数3，8，13，18，23，28，…，依此规律，在此数列中比2000大的最小整数是 _____ .

分析 观察数列，可发现规律：后一个数比前一个数大5，故3 = 3 + 5 × 0；8 = 3 + 5 × 1；13 = 3 + 5 × 2，18 = 3 + 5 × 3， …，第n个数为3 + 5（n - 1） = 5n - 2，所以5n - 2 > 2000，解得n > 400.4，则答案为5 × 401 - 2 = 2003.

二、数式型规律探索型

此类问题一般是给定一些代数式、等式或不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同的数量关系）或纵比（不同等式间相同位置的数量关系），找出部分特征，写出符合条件的等式.

例2 观察下列各式：2 × 4 = 32 - 1，3 × 5 = 42 - 1，4 × 6 = 52 - 1，…，10 × 12 = 112 - 1，…，用关于n的等式表示这个规律： _____ .

解析 观察等式，可发现规律：等式左边是两个连续偶（或奇）數的积，右边是夹在这两个连续偶（或奇）数中间的奇（或偶）数的平方与1的差.故n（n + 2） = （n + 1）2 - 1（n 为大于等于 2的正整数）.

三、几何变换规律探索型

此类问题一般是有规律地呈现一组图形，让学生首先观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数式的对应关系，总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.

例3 已知△ABC的面积为1，连接这个三角形各边中点得到一个小三角形的面积为，又连接这个小三角形各边中点得到一个更小的三角形的面积为，……如此继续下去，到第n次这样作出的三角形的面积为 _____ .

解析 利用相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，那么每次分出的小三角形和前一个三角形的相似比为，到第n次这样作出的三角形和原三角形（面积为1）的相似比为n，因此它的面积为n2 = n.

四、循环排列规律探索型

此类问题一般是将数字循环排列起来，其中隐含着一定的规律. 规律的挖掘和表征是解决问题的关键.

例4 如图1，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2013的直角顶点的坐标为_____ .

解析 此题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点. 根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点（8052，0）.

五、数形结合规律探索型

此类问题一般是以呈一定规律发展的图形为载体，解题时应根据图形的结构猜想其数量上的变化规律，再由这种规律确定问题答案. 解决此类问题需要把图形中有关数量的变化规律“数学化”地准确表达出来，再推到计算.

例5 在图2中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 _____ 个小正方形.

解析 观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n = 10代入进行计算即可得解. 如第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1 + 3 = 4（个）小正方形，第3个图案中共有1 + 3 + 5 = 9（个）小正方形……第n个图案中共有1 + 3 + 5 + … + （2n - 1） = = n2（个）小正方形，所以，第10个图案中共有102 = 100（个）小正方形.

从上述求解过程中不难发现，规律探索型问题中，一般隐含着某种规律或数学关系，解决此类问题，需要运用归纳、猜想、合情推理等思维方法. 因此，数学教学中，教师应该注意培养发现关系和揭示的能力，这也是数学思维能力的重要组成部分.