中学数学开放性问题的研究

郑六琴

摘要：开放性问题是培养学生创新意识，提高学生独立解决问题能力的极好素材。本文研究了数学开放性问题的含义、常见类型及特点，给出了解决中学数学开放性问题的思维与策略。

关键词：中学数学；开放性问题；思维；策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）08-0161

一、研究开放性问题的意义

传统教育观念下的数学学习质量评价，虽然有利于形成思维上的定势或求同思维的培养，但却忽视了求异思维和发散思维能力的培养，不利于培养学生的创新意识和创新能力。而开放性试题，则要求学生通过观察、比较、分析、综合甚至猜想、展开发散性思维，充分运用已学知识和数学方法，经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，最后得出正确的结论。学生解题过程突出了思维的多样性和灵活性。具体表现为：1. 有利于培养学生良好的思维品质，良好的表达能力、批判、评价能力，提高学生解决问题的能力。2. 有利于调动学生（特别是居于中流或学习上后进的学生）的学习积极性。3. 有利于提高学生对所学到的数学知识和技能的应用能力。4. 有利于学生体验成功、树立自信心、产生学习的兴趣。

二、开放性问题的含义

数学开放性问题在开放时代应运而生。如：给定集合{3，21，2，10}及四种运算符号“+”、“-”、“×”、“÷”，使用上述集合中的元素及四种运算符号组成答案为17的算式。当然，要解决此题，要求思维灵活且具有敏锐的观察力。较简单，大家很容易的出这样两种结论——21-10+3×2=17和10+21÷3=17。然而，何谓开放性问题？至今数学界并未形成公认的界定，通常理解是指“条件”、“解法”、“答案”具有多样性和不确定性的问题。而从查阅的文献资料看，大约有以下三类：1. 答案不确定的数学问题称为数学开放性问题。2. 条件不完备、结论不确定的数学问题称为开放性问题。3. 数学开放性问题是指条件开放（条件在不断变化）、结论开放（多结论或无确定结论）、策略开放（可以采用多种方法和途径去解决）的问题。

综上所述，开放性问题较为准确、完备的界定应是：一个习题系统R通常包括四要素：已知条件 r，解题依据o，解题方法p，结论z，即R={r，o，p，z}。四要素齐备的题，为“封闭性问题”；缺少o或p的题，为“班封闭性题”；缺少r或z的题，为“开放性问题”。

三、开放性问题的常见类型

1. 按命题要素的发展倾向分类有：（1）开放型。（2）方法开放型。（3）结论开放型。（4）综合开放型。

2. 按解题目标的操作模式分类有：（1）量化设计型。（2）分类讨论型。（3）规律探索型。（4）数学建模型。（5）问题探究型。（6）情景探究型。

3. 按学习过程的训练价值分类有：（1）信息迁移型。（2）知识巩固型。（3）知识发散型。

4. 按问题答案的结构类型分类有：（1）有限可列型。例如：将100分成若干个连续自然数的和。（2）有限混纯型。例如：平面上满足什麽条件的四个点共圆？（3）无限离散型。例如：P、Q、R、S为整数，且（P+Q）（R+S）=15，问P、Q、R、S可能取哪些值？（4）无限连续型。例如：请你写出一组四个连续整数，使其和大于40。

5. 依据数学开放性问题的开放度分为：（1）弱开放型：即答案只有两种，非此即彼类型的题。例如：小红同学给出了这样一道数学题：“如果在四边形ABCD中，AB=CD，那麽四边形ABCD是平行四边形”，若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定成立，请举出反例。（2）中开放型：即答案情况有多种的，但总数是确定的。例如：ax2+bx+c=0（0

四、开放性问题的特点

封闭性问题正是围绕这各种固定题型、程序化的解题策略、预定的答案而进行的，而开放性问题恰恰与此相反，其特点表现为

1. 问题的条件、结论开放

开放性问题，有的条件开放，有的结论开放，有的条件与结论同时开放。对于同一问题，可以有不同的结果。

2. 分析的思路开放

分析问题时可以从不同的思维角度去考虑，这就为学生的思维空间留下了充分的余地。

3. 解题的方法开放

解决问题时，有不同的方法与技巧，没有固定的解题模式与程序。

4. 问题内容的新颖性

这类问题背景新颖，解法灵活，结合性强，无现成模式可用。

5. 问题形式多样性

这类问题有的追溯多种条件，有的探究多种结论，有的寻求多种解法；有的由变求不变、或由变求变，有的以动求静、或以动带动；很能体现现代数学气息。

6. 问题动能的创造性

这类问题有时只给出一种情景，题目的条件和结论要求解题者在情景中自行寻找和设定，解题的模式和方法也是多种多样的，给解题者发挥创新精神、培养创新能力提供了良好的契机。

五、解决数学开放性问题的思维与策略

由于开放性问题的结论或条件有待于探究，故思维难以定向，而结论之所以难于以制定，又往往是因为问题比较抽象，一般规律未能显露出来。因此，这类问题具有更大的灵活性与创造力。处理开放性问题时，常用的思维对策有：

1. 寻求矛盾的策略：即假设存在，然后进行验证

凡涉及“是否存在”、“是否有某种性质”等一类未定结论的开放性问题，我们总是先假设存在或有某种性质，然后根据已知条件、定理、有关性质等进行推理验证；若出现矛盾，说明假设错误，从而得出正确结论。其实质是证明问题的某项必要条件不能达到。

2. 充要条件推导的策略

这种思路是把存在性命题当作求解题来做，其实质是由结论出发，根据题设、已知定理、性质等，利用充要条件进行推理，将满足条件的数学对象求出来，其好处是推导过程本身就是验证过程。

3. 特殊探路的策略

有些开放性问题只有条件而無结论，或虽有结论但结论的正确与否有待于确定。解决这类问题我们常常先研究特殊情况，即特例或简单情形，然后进行观察分析，就能猜想结果或发现目标，然后给出证明过程。其实质是由特殊到一般、由简单到复杂，有抛砖引玉之效果。

4. 数形结合的策略

有些开放性题，当以纯粹的数出现时，常常显得复杂而抽象，其结论的探求也比较困难。当将其转化为形的问题后，结论就明显多了。有时也有相反情况，即当以纯粹的图形出现时，我们常常无从入手，若将其转化成数的问题后就会简化其难度与抽象性。其实质是将数与性相互融合，一方面通过数量关系的讨论来研究几何图形的性质；另一方面是利用几何图形的的直观性来揭示数量关系深刻的特性。

5. 划分与讨论策略

在隐藏着的结论里，情况比较复杂，必须进行分类辨析方能得出完美的结论。这类开放性问题含有待于讨论的参数，其实质是对参数取值范围的讨论或是对参数具有的不同性质进行讨论。

6. 命题转换的策略

在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，须通过变形才能解决。其实质是根据知识间的相互联系，将一些含糊的、抽象的、深奥的问题等价转化为比较熟悉的、直观的或已经解决的问题来解决。

（作者单位：贵州省毕节市实验高中 551700）