例析法向量在立几距离问题中的应用

何广文

新课标指出“几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化的需要”.随着平面法向量这个概念在新教材的引入，应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明、空间角和距离的求解等高考热点问题的方法更具灵活性和可操作性，其主要特点是用代数方法解决几何问题，无需考虑如何添加辅助线，避开抽象的几何推理和繁杂的几何计算，使解题更显简洁明了.但在现行教材中，对法向量只是作了一个简单的介绍，没有它在解题当中的具体应用.下面我仅就法向量在立体几何有关距离问题中的应用举例说明.

一、利用法向量求点到平面的距离

解首先把要求的线线距离转化为求线面距离再把它转化为求点面距离.具体转化如下：过其中一条直线作平面使这一平面与另一条直线平行，这样问题就转化为求直线到平行平面的距离问题了，我们利用前面例2的方法使问题得到了解决.连接AB1，DC1，由AB1∥DC1得直线DC1∥平面AD1B1，这样两异面直线D1A和DC1的距离就转化为求直线DC1到与它平行平面AD1B1的距离了，而直线DC1到与它平行的平面AD1B1的距离又等于点D到平面AD1B1的距离.所以设平面AD1B1的法向量为n=（x，y，z），建立如图所示的空间直角坐标系D1-xyz，由例1的解题过程得到直线D1A与DC1的距离为43.

总之，利用法向量在解立体几何中的距离问题时，首先要建立适当的空间直角坐标系，写出它们相关的点的坐标以及向量的坐标，再由法向量与平面内两相交的两个向量的数量积等于0，建立等量关系，取不定方程组的一组解，写出法向量，最后用平面外一点到平面的距离公式d=|PA|·cos=PA·nn求出距离.