让“封闭”的高中数学题“开放”

王加伟

长期以来，高中数学教学就是做大量的习题.这些数学题具有一定的形式，显得很“封闭”.所谓的“开放题”是一种具有某种特殊形式的数学题，其实它与一般的数学题具有同样的教学价值.但是，开放型的题型有利于培养学生创新思维与实践能力，为高中数学课堂教学注入了生机与活力.那么，我们如何把一些所谓的“封闭”题变得“开放”呢？

一、结合实际教学，让数学问题充满趣味

《高中数学课程标准》中强调：“高中数学教学要体现实用性，要把数学作为人们生活中必不可少的工具.”首先，数学教学要与生活联系，让充满生活化的数学问题充满生活的趣味，从而让学生感到数学的趣味性与实用价值.例如：学校修建一个新的跑道，要求长120米、宽100米，请我们的同学给学校设计这个跑道，设计标准必须符合以下几个条件：（1）跑道必须按照国家规定的标准，图形是直线或圆弧连接起来；（2）跑道中有八道同时内圈长度均为300米；（3）每道跑道宽度必须为1.22米.在设计过程中展现学生丰富的想象能力.有学生认为这样的条件不能设计出满足要求的体育场，因为跑道应由两个半圆与一个矩形组成.经过准确地计算跑道内圈不能满足300米这个要求.有学生认为应该能造出满足题目要求的跑道，用四个四分之一圆弧与五个矩形构成.有学生把这个跑道设计成弯道部分由三段圆弧形状组成，因为这样才是符合要求的跑道.有学生更是发挥想象，把跑道设计成花园式的体育场，跑道全部由圆弧组成，因为这样的体育场才显得更加完美.由这道题我们可以看出，利用好这简单的教学资源，让学生充分运用已有的知识基础与生活经验，使数学问题充满了趣味性，从而实现了“开放”.

二、充分提高认识，认清开放题内涵与意义

在我们解决开放性问题的过程中，通过对问题分析后能提出一种崭新的解题方法，或者是独立构造出一种新的解决方案，这本身就是对数学问题的创造.所谓“开放”的数学题，它包括我们教师的教学内容、学生数学学习活动与学生与教学内容之间相互作用等多方面的开放.结合当今现代认知心理学对数学学习过程的要求，我们给开放式的数学教学定位新的目标：充分体现以学生为课堂教学的主体地位，通过数学开放教学，在获取数学知识与技能的同时，让学生开展自主学习活动，在学习活动中积极主动参与，提高学生的实践能力，培养创新思维.在教学实践中，使学生能根据不同的能力、不同兴趣与爱好选择不同的方法与类型，让学习能力较强的学生能够开展合作探究活动，进一步提高自己；让能力较低的学生也能积极地参与到活动中来，有一定的收获.在这样的过程中，可以实现：①培养学生的好奇心与求知欲望；②进一步促进学生积极探索，并产生探索策略；③引导学生利用已有的知识与经验，提出问题、分析问题、解决新问题；④激发学生培养数学思维；⑤引导学生开展讨论交流与探究合作.这种教学模式本身就具有一定的开放性，因而受到了学生的欢迎.

三、开放性数学问题，实施了因材施教原则

心理学理论指出，学生对问题的理解总是存在一定的差异，学生的学习水平与认知能力也存在着一定的差异.因材施教原则历来是教育原则之一.数学教学是在个体的差异的基础上进行的，并且要为每名学生提供可以施展自己才华的机会.例如：在学习“等差数列与等比数列”时，就设计出这样的问题让学生思考：一个正整数数列3，9，…，2187，…问：2187是这个数列中的第几项？因为题目中没有指明正整数数列具体是什么数列，那么我们就可以根据自己的理解与经验来假定它，可以是等差数列、等比数列或其他数列.我们应该从学生的解答中知道学生的基础与学习能力的差异，进而再开展因材施教.由于学生已经学过了等差、等比数列的通项公式，所以学生自然而然地会想到从等差或等比数列来考虑这个问题，于是很快就得到：①设这个数列是公差为6的等差数列，那么2187是数列中的第365项；②设这个数列是公比为3的等比数列，那么2187应该是数列中的第7项.这就是运用刚学过的知识来解决问题的.也有少数学生不知怎样下手，教师就及时地给予点拨，帮助他们分析问题、解决问题，那就是怎样来补充条件确定数列的项.这样，让所有的学生都有所收获.

四、问题的多样性，有利于培养创新思维

在进行开放数学题的教学中，我们一般会引导学生根据题目中的已知条件，利用自己已有的经验与方法，对问题进行广泛的联想，然后积极探索，从中寻找出规律，让问题顺利地解决.由于探索的多样性，不同的问题总有不同的解题方法，需要我们不断地分析、推敲，有时候还不循常规，大胆地创新，充分考虑到问题存在着多种多样的可能性.这样，就有利于培养学生思维的独创性、发散性与灵活性，从而提高了学生的创新思维能力.开放的题型符合高中学生思维活跃、善于想象、敢于尝试的心理特征.学生在解答开放型题目的过程中，能把现实条件用数学的语言来表述，把一个抽象化、意念化或概括化的问题简化.他们在其中涉及的思维包括：把原来的技能进行分组，以形成解决目前问题的一种整体的技能，或对原来的技能进行修正，以解决目前的问题.因此，教师在数学教学中合理地运用开放题有利于学生构建知识体系，不断更新并完善自己的解题技能；有利于培养学生注重自己思考问题的过程，获得解决问题的思路，从而采取有效的策略，大大地改变了只侧重问题的答案或追求正确的结果；开放题有利于开展分层次教学，同时，也有利于改变以教师为中心的课堂教学.

总之，对开放题的教学已成为高中数学教学中的热点问题.开放题为培养学生的创新思维能力提供了一种可能，这就要求学生有较强的主动参与意识.同时，也要求教师有较强的课堂驾驭能力.只有教师在教学实践中不断地探索，才能真正有效地体现数学开放题在教学中的价值.