深挖题后规律，破解一类习题

曾春涛

一、高考题引入

例题：（2012年广东省理科第20题）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： + =1（a>b>0）的离心率e= ，且椭圆C1上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C1的方程。

（2）在椭圆C1上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。

分析：线性规划的应用之一是求最值，这里采用线性规划的方向去解决。题目中椭圆C1： + =1（a>b>0）及其围住的区域为可行域，区域内的点P（x，y）到点Q（0，2）的距离为目标函数z= ，即x2+（y-2）2=z2，表示以（0，2）为圆心，z为半径的圆。要使得目标函数z最大，即使圆的半径最大。如图1、图2所示，必須是圆与椭圆外切（图2）的时候，才能满足题目的要求。

于是有如下解法：

解：由e= 得： = ，又因为c2=a2-b2

得a2=3b2，椭圆方程化为x2+3y2=3b2

以（0，2）为圆心，z为半径的圆方程为：x2+（y-2）2=z2，要使得z最大，必须是圆与椭圆相切的时候，即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得：x2+（y-2）2=z2x2+3y2=3b2即为：2y2+4y-3b2-4+z2=0，Δ=24b2-8z2+48

由Δ=0，解得：b2= 。由题可知：z=3，所以b2=1，a2=3，椭圆的方程为： +y2=1

点评：从线性规划出发，将椭圆上动点到定点距离的最大值问题，转换为圆与椭圆相切的问题，动中求静，变中求定，距离最大值点即为椭圆与目标圆的切点。

二、问题的拓展与探究

在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。

上面的例题具有一定的特殊性，目标函数所对的圆心Q点固定为（0，2），目标函数所对的最大值固定为3，椭圆的离心率也固定为 。从解得的结果分析：椭圆与目标函数所对的圆的交点恰好是椭圆的下顶点。依据上面的三个条件，是否能求出交点不是椭圆的下顶点的椭圆方程，即：是否可以推广到如下更一般的形式呢？

推广1：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： + =1（a>b>0）的离心率e，且椭圆C1上的点到Q（0，m）的距离的最大值为r（r>|m|），求椭圆C1的方程。

命题1：如果有上面推广的条件，那么c2=e2r2-m2。

推广2：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： + =1（a>b>0）的离心率e，且椭圆C1上的点到Q（0，m）的距离的最小值为r（0

命题2：如果有上面推广的条件，那么c2= r2+m2。

命题1的证明如下，命题2的证明从略。

证明：以（0，m）为圆心，r为半径的圆方程为：x2+（y-m）2=r2，要使得r最大，必须是圆与椭圆相切的时候，即Δ=0时。联立椭圆方程和圆方程得：

x2+（y-m）2=r2b2x2+a2y2=a2b2

即为：c2y2+2b2my-b2m2-a2b2+b2r2=0，Δ=4b2m2-4c2（-b2m2-a2b2+b2r2）

由Δ=0，解得：c2=e2r2-m2

点评：得到椭圆的e、c与圆心纵坐标m、圆半径r四者之间的一个关系式，可以解决一个动点与椭圆距离相关的最值、取值范围的问题。

三、掌握规律，破解一类题

练习1：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： + =1（a>b>0）的离心率e= ，且椭圆C1上的点到Q（0，3）的距离的最大值为5，求椭圆C1的方程。

分析：本题是完全仿照2012年广东省理科第20题改编的一个题目，由上面命题的结论知c2=6，结合e= ，求得a2=10，b2=4，椭圆方程为 + =1。

椭圆的最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。最值问题中的点点距离最值时，除利用通常的函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法外，我们不妨从线性规划的角度，建立目标函数，化动为静，转换为椭圆与圆相切的问题，甚至可以得到通性通法，解决椭圆中点点距离最值问题的一类题目。

（作者单位 广东省东莞市塘厦中学）

编辑 代敏丽