数学竞赛中的数学思维

傅秀丽

数学竞赛是当前数学教育实践中的一个重要的组成部分，数学思维则是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学中的形象思维、直觉思维、定势思维和反定势思维以及创造性思维是数学思维结构的基本成分。以下笔者将结合数学竞赛中试题的分析来阐述形象思维、直觉思维、定势思维以及创造性思维。

一、形象思维

数学中形象思维是凭借各种形象来思考、表述和展开数学问题的思维活动。形象思维的形式有：意象、联想、想象。

例1：六年级有学生54人，每人至少爱好一种球，其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人。既爱好乒乓球又爱好排球的有18人；既爱好足球又爱好乒乓球的有14人；既爱好足球又爱好排球的有12人，对于这三种都爱好的有几人？

分析：我们用韦恩图（画三个圆）表示题中的数量关系，三个圆两两相交，分隔成7块，设三种都爱好的有x人，那么每一块所表示的意义就一目了然了。（如图）

解：设三种都爱好的有x人，列方程：（8+x）+（18-x）+（14-x）+x+x+（12-x）+（x-6）=54

x+46=54

x=8

本题通过画图，把题中的各个数量以及数量之间的关系清楚地呈现出来，把繁杂的数字用具体的形象来展现。

二、直觉思维

数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。这是数学直觉思维的本质特征，数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展的，问题的解决也离不开直觉。

例2：计算■+■+■

分析一：三个分子都是1，分母都是三个连续自然数的乘积，这样我们想到用“裂项相消”的办法。

解法一：原式=■×（■-■）+■×（■-■）+■×（■-■）

=■×（■-■+■-■+■-■）

=■×（■-■）

=■

分析二：由于项数不多，故采用通分计算。

原式=■+■+■

=■

=■

“裂项相消”是競赛中常用的，本题也可采用，但优势不大。但若碰到：

“求■+■+■+...+■的值”时，用“裂项相消”的方法就非常方便简单了。

三、定势思维

定势思维是指人们用某种固定的思维模式去分析问题、解决问题。这种固定模式是已知的，事先有所准备的，具体地说，思维中的定势包括定向、定法、定序三个主要方面的内容。

例3： 如下图，方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点的正方形又有（ ）个。

分析：采用分类讨论的方法来做（定法）。对于这种计数题，很容易遗漏或者重复计算。用分类讨论的方法思路很清晰，也便于做完后检查，查漏补缺。

解：以正方形面积大小来分类计数：

设相邻两点的距离为1，则正方形的面积为1的有9个；面积为2的有4个；面积为5的有2个；面积为8的有4个；面积为13的有2个。

所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形。

四、创造性思维

创造性思维是指以新的材料、从新的角度，用新的程序和方法处理、加工信息，从而获得新成果的思维活动和过程。创造性思维的特征有独创性、灵活性、综合性。

例4：设A=9876543×3456789，B=9876544×3456788，那么（ ）。

（1）A>B （2）A=B （3）A

解法一：把A，B分别写成

A=9876543×（3456788+1）

=9876543×345678+9876543

B=（9876543+1）×3456788

=9876543×3456788+3456788

比较A、B可发现第一项相等，后一项的9876543大于3456788，故A>B，选（1）

解法二：本题可看成两个矩形的面积大小比较，其中一个矩形的长为9876543，宽为3456789；另一个矩形的长为9876544，宽为3456788。为了比较他们的面积，画出这两个矩形的示意图，并按图中所示尽可能将它们重叠在一起，去掉重叠部分后，两个矩形都剩下宽为1的矩形，显然画竖条的矩形面积比画横条的矩形面积要大，即故A>B，故选（1）。

解法二的方法比较新颖，有创造性突破了代数的计算，从而转换到几何上的比较大小，具有直观性，同时可以开拓学生的思维。

数学竞赛活动考察的是学生的数学思维和数学能力，因此数学竞赛的本质是数学思维的学习，同时，我们也可以通过数学竞赛来提高数学思维能力。

（责编 张景贤）