巧用分解质因数的方法解题

浙江 俞 英

分解质因数在课本中的主要任务似乎就是为后面的公因数和公倍数服务的。其实不然，我们可以根据题意，将一个数分解质因数，并对分解得到的质因数进行适当的分析和组合，就能顺利解决许多疑难问题。

【例1】一批工人搬210块砖，若工人增加6人，那么每人就少搬4块，原有多少人？

【分析与解】因为砖的块数是210块，而且砖的块数210=工人人数每人搬的块数，由此可以知道工人人数是210的一个因数，我们可以从210入手，把它分解成质因数：210=2357，根据题中的数量关系式，砖的块数210=工人人数每人搬的块数可知，应将210写成两个自然数相乘的形式，我们对210的质因数进行适当的组合可得到7种不同的情况：

再由题中“工人增加6人”可知一个因数变化后比原来的大6；由“每人就少搬4块”可知另一个因数变化后比原来的小4。根据这个条件，我们可以轻松地从 7种形式中找出符合题意的两种：210=1021，210=1415，其中比另一种分解形式中的因数小6的数就是原来工人人数，由此得出原来工人的人数是15。

【例2】俞老师带一个班的学生去种树，学生恰好被平分成四个小组，并且师生每人种的棵数一样多，共种树667棵，这个班共有学生多少人？

【分析与解】因为师生每人种的棵数一样多，种树的总棵数667=每人种的棵数师生人数，根据题意可以知道，学生人数比师生人数少1，要求学生就必须知道师生人数，而师生人数是667的一个因数，所以我们需要将667分解质因数：667=2329。那么质因数23和29中哪个是师生人数呢？题中“学生恰好平均分成四个小组”，说明学生人数是4的倍数，也就是说师生人数少1的数是4的倍数，在23和29这两个质因数中只有29符合这个条件，所以这个班的师生人数为29，学生人数就是29－1=28人。

【练一练】

1.1055名学生组成迎宾方阵，若每排增加12人，就减少了20排，原来每排有多少人？

2.王师傅带徒弟们做玩具，徒弟恰好能平均分成三个小组，若每个徒弟都比王师傅少做1个，则师徒共做了507个，徒弟有多少人？