“池塘有多少桶水”与“整体思想”

江苏 蒋明玉

从前，有个国王在大臣们的陪同下，来到御花园散步。国王瞧着前面的水池，忽然心血来潮，问身边的大臣：“这水池里共有多少桶水？”众臣一听，面面相觑，谁都答不出来。国王下旨：“给你们三天时间考虑，回答出来重赏，回答不出来重罚！”随后几天里，大臣们用桶量来量去，怎么也量不出一个确切的数据。眨眼三天到了，大臣们仍一筹莫展。就在此时，一个少年走向王宫，声称自己知道池塘有多少桶水。国王命令大臣带少年去看池塘，少年却笑道：“不用看了，这个问题太容易了！”国王乐了：“哦，那你就说说吧。”少年眨了眨眼说：“这要看那是怎样的桶。如果和水池一样大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有两桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”“行了，完全正确！”国王重赏了这个少年。

大臣们为什么不能解决国王的问题呢？原来，他们都掉进了思维定势的窠臼：一桶一桶地量。而那个少年则撇开了池塘的大小，从桶的角度思考问题，结果一下子就解决了。是的，我们在解答数学问题时，常常受条件和问题束缚，没有把握局部和整体的关系，缺乏整体思想，往往把简单的问题复杂化了。整体思想的基本特点是整体性，即把数学问题当作一个整体来思考。在数学解题中，合理运用“整体思想”，往往可以化繁为简、化难为易。下面举例来讲。

一、在计算题解答中，综观整体，从整体上把握题目，合理灵活地解题。

【分析与解】如果用通分的方法计算，计算将是十分烦琐。若将题目相同的和式假设为某一字母，计算就简便了。

【例2】对32541这个五位数，能否改变各个数字的位置，把它变为一个五位质数。

【分析与解】许多同学的做法可能是先排除个位数2、5、4的情况，再逐步考察剩下的各种情况。其实，若从整体上把3、2、5、4、1五个数字考察一番，由于3+2+5+4+1=15，便一眼看出：无论怎样变换位置，排出来的五位数一定是“3”的倍数，而不可能是质数。

二、在面积计算题解答中，学会从整体上观察图形，进行合理转化，灵活而简洁地解答问题。

【例3】 如图1，长方形长8厘米，宽5厘米，求阴影部分的面积。

图1

图2

【分析与解】阴影部分是由三个三角形组成的，如果分别求出三个阴影三角形的面积，就会束手无策。从整体上看图，三个三角形的高都是5厘米，而它们的底之和为8厘米，进而对图形进行转化，将三个阴影三角形转化成一个三角形（如图 2），即 S阴=S三角形ABC。

S阴=S三角形ABC=852=20（平方厘米）

三、在应用题解答中，从整体上把握数量关系，灵活而合理地解答问题。

【分析与解】“参加的人数”与“未参加的人数”前后都发生了变化，但是六年级学生的总人数是不变的。可以从“参加的人数”前后发生的变化来考虑，“原来参加的人数”是总人数的，后来又有30人参加，“这时参加的人数”是总人数的所以“30人”所对应的分率是（），因此算式是也可以从“未参加的人数”前后发生的变化来考虑，不难得出

【总结】把数学问题视作一个整体，从整体上把握问题的本质和规律，运用“整体思维”的方法解题，往往可以使解题灵活、巧妙。需要指出的是，运用了“整体思维”，并不否定“对象思维”，相反，两者要相互协调、有机统一起来。

【练一练】两个形状和大小都一样的直角三角形ABC与DEF，如下图放置，它们的面积都是2003平方厘米，而每一个三角形的顶点都恰好落在另一个直角三角形的斜边上。那么长方形ADEC的面积为（ ）平方厘米。