数学解题中思维灵活性的培养

■董晓莉

数学解题中思维灵活性的培养

■董晓莉

思维的灵活性是指能善于根据事物的发展变化，及时地用新的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新方案。学生在解题中数学思维的灵活性主要体现在以下三个方面：思维起点的灵活性——能根据题目条件从不同角度、不同层次迅速地确定思考问题的方向，找到解题的突破口；思维过程的灵活性——在解题遇到困难时能灵活运用各种定义、公式定理、法则、规律等从一种解题途径转向另一种更为合适的解题途径；思维迁移的灵活性——能适当转化，举一反三，触类旁通。

思维起点：教会学生观察

学会观察是学生能够灵活解题的前提。虽然观察看起来是一个表面现象，但从心理学上讲，观察是一种比较持久的知觉，是知觉的高级状态，是思维的起点，是了解问题、发现问题、解决问题的前提。对于有些题目，学生说“想不到”解题的方法，其实是学生“看不到”解题的切入点，因此首先需帮助学生提高他们的观察能力，以便他们在解题准备阶段能发现题干下直接的或隐含着的数学条件和关系，并能准确抓住每道题的“题眼”，犹如在文学作品中能抓住“文眼”就能知道文章的中心思想和作者想表达的情感一样，如果学生能抓住每道题的“题眼”就能大概揣测出命题者的意图和所需要用到的数学知识点，从而透过数学的表象看到数学的本质，寻求出解题的思路和解题的最佳方法。

教会学生学会观察还包括他们在解题过程中的观察。由于受观察角度和联想内容的影响和局限，学生初拟出来的解题方案有时是片面的、不完整的，如果学生这时能灵活地变换观察的角度，查漏补缺或重新调整解题的方案，局部进行修改，将更有利于灵活正确地解题。

思维过程：教会学生联想

联想是由题设向结论转化的桥梁，是提升数学解题思维层次的阶梯。那些稍具难度的数学题目，它和基础知识的联系都是隐晦的、间接的、复杂的，因此，能否解题，解题的速度如何都将取决于学生能否灵活运用有关知识，找出与题目某些特点很接近的或较相似的原理、方法、结论或命题来，变通使用这些知识和方法，找到解决问题的“另一扇窗”。例如，在求解下题“长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，并且a＞b＞c＞0。求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长”时，联想到“两点之间，线段最短”这一结论，考虑将空间中沿长方体表面的两点之间的最短线路问题转化为平面上两点之间的连线段最短的问题，也就是联想到降维的手段，从而可以将几何体展开，那么展开的方式到底有几种呢？对于空间想象能力较差的学生，可能就会弄不清楚了。但如果换个角度，联想到展开后的平面图形必定是一个矩形，这个矩形的一条边只能是a+b、a+c、b+c中的某一个，所以应有三种展开方式，且矩形的另一边分别对应为c、b、a。

经过这样的联想，对于那些空间想象能力相对较差的学生来讲，节约了他们解题的时间并同时降低了他们解题的失误率，而对于空间想象能力较好的学生，也多了一种选择，多了一条解题的途径，充分体现了联想对于数学思维灵活性的意义。

思维迁移：教会学生转化

数学转化思想是把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力，就解题的本质而言，解题即是转化。有效的转化就是将那些陌生的、复杂的问题，通过数学的手段转化为熟悉的、简单的问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要去寻求转化关系。

灵活的转化可以是形与形之间的，例如，在求解下题“已知点P(-1，2)，A(-2，-3)，B(3，0)，经过点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率k的取值范围”时，总有部分学生对先通过计算直线PA、直线PB的斜率然后再通过直线的旋转的方法得到斜率k的取值范围很难理解，他们往往会弄不清到底k的取值是介于两个斜率值之间还是介于两个斜率值之外。但如果通过联想将这道题灵活的转化成解析几何的另一种题型，也就是二元一次不等式表示的平面区域的问题，即将直线l与线段AB要有公共点转化成：点A和点B应该在直线l的两侧或l经过点A或点B中的一个，这样从理解上就相对容易些了。

灵活的转化亦可以是在数与数之间的转化，例如在求解关于实数a，b的形如的二元一次方程组时，可以将其转化为求解关于x的一元二次方程x2-mx+n=0的两个根的问题，从而达到简化运算，灵活求解的目的。

在对学生进行数学解题的思维灵活性的培养时，若能启发他们从多角度进行仔细的观察，从多渠道进行广泛的联想，并能根据先前的联想进行有效的转化，则可以得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，这对学生的学习思维品质和学习兴趣的提高以及钻研精神的发挥无疑是十分有利的。

（作者单位：江苏省苏州市木渎第二高级中学）