高考中导数单调性应用易错点剖析

■姜 慧

高考中导数单调性应用易错点剖析

■姜 慧

在新课标教材的指导下，导数及导数的应用成为高考的热点，尤其是用导数的性质研究函数的单调性成为必考内容，利用它可以证明不等式问题、在恒成立问题中求参数的范围、研究函数的极值与最值。这就要求学生既要对导数知识极其熟悉，还需要有丰富的应试技巧，从而获得高分。

问题的易错点

在新课程背景下，高考围绕导数“核心”知识点单调性进行考查，单调性应用是学生的易错点，通过对易错题的错解进行纠正，引导学生思考，锻炼学生独立解决问题的能力，形成自己的解题方法，进而能触发学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果。下面通过一道应用问题体现导数的性质单调性的误用。

例：已知函数f(x)=3ax4-2(3a+1) x2+4x。（1）当时，求f(x)的极值；（2）若f(x)在(-1,1)上是增函数，求a的范围。

解第一问为常规解法故略去，只解第二问。学生解：因为f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函数，所 以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，所以f’(1)=12a-4(3a+1)+4=0≥0，所以a∈R。表面上看学生的解法是对的，而且理由也很充分，他们认为：如果连续函数在某一区间上单调，则这一函数在这个区间上的导函数大于或等于零，所以这个区间上每一点处的导函数值大于或等于零，但他们犯了一个严重的错误，用特殊代替了一般，从而导致范围扩大。这类题目是考查函数的单调性的应用，近两年很多地区高考题的导数大题就是这么考查的。考查的重点在于对参数进行分类讨论。这时候往往先考虑现有条件对参数有没有限制，如有限制，一定要在限制范围内分类讨论。

几种正确的解法

下面笔者提供几种正确的解法：

分离参数法 因为 f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函数，所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立。因为x∈(-1,1)所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立。当x=0时，3ax2+3ax-1=-1≤0成立。当x∈(-1,0)时，令 t(x)=x2+x在x∈(-1,0)上时，所以。当x∈(0,1)时，，t(x)=x2+x在 x∈(-1,0)上是增函数，t(x)＜t(1)=2。∴综上。求参数的取值范围，这种含参不等式的问题，往往可以通过分离变量的方法，转化为不等式的恒成立问题。而“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。

二次函数法 二次函数的是初中的重点内容，也是高考中的很多问题的解题工具，尤其利用二次函数求在某区间上的最值（或值域）的求法要掌握熟练，特别是含参数的两类“定轴动区间”“定区间动轴”，其解法是抓住“三点一轴”数形结合。三点指的是区间的两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴。解法如下：因为f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函数；所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立，因为x∈(-1,1)所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立， 令g(x)=3ax2+3ax-1，x∈(-1,1)。当a=0时， 则g(x)=-1≤0在(-1,1)成立。当a＞0时，则二次函数开口向上，对称轴，则x=1离对称轴更远，所以x=1时g(1)最大，则此时要3ax2+3ax-1≤0，所以3a+3a-1≤0，即。当a＜0时，则二次函数开口向下，对称轴(-1,1)，所以最大，则此时要3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，所以，即。综上。本题利用二次函数“定区间动轴”对参数a分三类进行讨论在此基础上进行了解答。

二次求导法 函数在某点的一阶导数表示函数图象在该点的切线的斜率，表达了函数值在该点附近的变化快慢；相应地，对函数二次求导，相当于对原来函数的一阶导函数再进行一次求导，所得二阶导数即表示切线的斜率的变化快慢。因为f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x在(-1,1)上是增函数，所以f’(x)=12ax3-4(3a+1)x+4≥0在(-1,1)上成立，即4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0在(-1,1)上成立，因为x∈(-1,1)，所以x-1＜0，即3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立。当a=0时，3ax2+3ax-1=-1≤0在(-1,1)上成立令g(x)=3ax2+3ax-1x∈(-1,1) g’(x)=6ax+3a，令g’(x)=0，则当a＞0时，g(x)在为减函数，g(x)在为增函数，且g(1)=3a+3a-1=6a-1及g(-1)=3a-3a-1=-1，如果要使3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，只需g(1)=6a-1≤0，即。当a＜0时，g(x)在为增函数，g(x)在为减函数，且要使3ax2+3ax-1≤0在(-1,1)上成立，只需，即。综上

从以上问题解答中可透过现象看本质，要从根本上掌握函数单调性的意义，从而在解题中更好地利用这一性质。这部分知识本身比较抽象，但题目的结构和形式往往与学生日常练习中所熟悉的题型是有联系的。因此，把常见的易错点进行梳理和分析，考试时做到心中有数，就能让自己的成绩有所突破。

（作者单位：内蒙古自治区阿拉善盟第一中学）