计及机组不确定损耗成本的鲁棒安全经济调度

刘鸿，刘建华，唐民

（1.长沙理工大学电气与信息工程学院，长沙 410004；2.慈溪市供电局，慈溪 315300）

电力系统的经济运行一直以来都是电力工程技术人员和学者研究的问题。电力系统的经济性是以安全性为前提的。文献[1～2]介绍了考虑直流潮流和线路容量约束条件的经济调度ED（economic dispatch）模型，称该模型为经济安全调度ESD（economic safe dispatch）模型。传统的ESD基本目标是在满足有功功率平衡情况下发电费用最小，机组出力及线路安全约束也应得到满足。这是一个非线性问题，求解这类问题的方法很多，诸如非线性规划法[3～4]，二次规划法[5]，逐次线性法[6]，神经网络[7～8]等等。以上方法都是基于ESD模型中的参数是确定的。而电力系统在实际运行中各参量并不是严格意义上具有确定性的，是具有一定的不确定性（如线路参数、电网的拓扑结构等），传统的ESD问题把不确定性因素当作确定性因素来处理，得出的最优解并非真正切合实际的最优解。在ESD问题中，发电机的费用函数曲线是通过“热运行”实验所得到的数据点绘制而成[9]，通过这些数据点拟合成二次函数，本身存在一定的误差。火电机组出力是通过由燃煤和各种化石燃料等给锅炉中的水加热，产生蒸汽，由蒸汽推动汽轮机转动，进一步带动发电机转子转动产生电能，是由热能转化为机械能，再转化为电能的过程。这中间的能量转化并非理想状态下的转化，而是存在诸多不确定性。而环境温度以及海水和湖泊水等作为用来作为冷却蒸汽的温度也存在不确定性，所以不能在任何时刻都用确定性的发电成本二次函数来进行描述，而是应该计及这些不确定性因素对机组煤耗产生的附加成本。故本文旨在修正这些不确定性因素所带来的附加成本对模型本身所带来的误差，以期更接近实际最优运行值。

目前，许多优化方法都运用到了ESD问题中，但是大多数的方法都是通过建立ESD潮流模型，如何有效的去求解，已有的这些方法并不能处理模型中的不确定性因素。近年来，各国研究者对已有的研究并不满足，迫切需要寻找一种方法来处理那些不确定性因素引起的误差，希望得到更贴切实际的优化值。而鲁棒优化方法[10]的提出正是解决这类问题的较好的方法，它能考虑最坏（worstcase）情况下的状态，本文利用鲁棒优化方法对电力系统煤耗参数的不确定性进行描述，模拟仿真表明该方法的有效性和在实践中具有重要的理论指导意义。

1 “不确定损耗成本”的描述

目前，电力是通过各种能源（如燃烧煤和各种化石燃料，核能裂变，风能等）所转化的，本文考虑利用煤和各种化石燃料生产电能，它的基本生产过程是：燃料在锅炉中燃烧加热水变成蒸汽，经过加热器进一步加热后变成过热的蒸汽，再通过主蒸汽管道进入汽轮机。由于蒸汽不断膨胀，高速流动的蒸汽推动汽轮机的叶片转动从而带动发电机从而产生电能。最后将做过功的蒸汽排入凝汽器并被冷却凝结成水，经过低压和高压加热后将热水打入锅炉，通常都是用海水和湖泊水作为凝汽器冷却。通过不断循环产生源源不断的电能。这个汽水系统总是受环境因素的影响，如空气、海水温度等。

为了进一步提高其热效率，一般都从汽轮机的某些中间级后抽出做过功的部分蒸汽，用以加热给水。这个过程也受散热等环境温度的影响。在超高压机组中还采用再热循环，即把做过一段功的蒸汽从汽轮机的高压缸的出口将做过功的蒸汽全部抽出，送到锅炉的再热汽中加热后再引入气轮机的中压缸继续膨胀做功，从中压缸送出的蒸汽，再送入低压缸继续做功。流入和流出的蒸汽在每个阶段都必须保持一种平衡，此外，由于设备之间的耦合不可能做到完全密封，在锅炉循环做功期间，总会有一些水丢失，为了保持平衡，还需不断的补水。在补水的过程中也会受到补给水的温度和量的多少等不确定性因素影响。

综上所述，燃料对锅炉加热，是热能不断转化为机械能，再转化为电能的过程。而热能由于环境、海水和湖泊水的温度，补给水的温度以及蒸汽的循环等不确定性因素的影响，将会对煤耗成本产生影响。若系统较锅炉理想循环状态下丢失热能较多的话，从而将增加燃料成本，这个增加的燃料成本称为“不确定损耗成本”。这个“不确定损耗成本”将会对经典经济调度模型的误差进行补偿。

本文的目标是为了降低单位发电成本，即减少燃料成本占发电总量的比例。由于电力供需平衡的约束，所以发电总量是恒定的。因此，对于每台发电机的“不确定损耗成本”而言，将其表示成与发电机出力有关的线性函数，即

式中：PGi为第i台发电机的出力；ΔF（PGi）为第i台发电机的“不确定损耗成本”；ξi、λi为不确定参量，ξi∈U，λi∈V，其集合U和V在后面描述。

2 线性鲁棒优化理论

2.1 线性鲁棒优化模型

20世纪70年代Soyster提出线性规划鲁棒优化模型[11]，鲁棒优化是解决内部结构和外部环境不确定情况下的优化方法。鲁棒优化解决内部结构变动问题时，对于数学规划问题而言，一种是约束条件参数的不确定性，一种是目标函数参数的不确定性[12]，本文的问题是目标函数参数的不确定性。

鲁棒优化已经从Soyster的线性优化鲁棒方法，发展到目前鲁棒优化理论的经典体系。有些学者在建立鲁棒优化理论方面进行了重要工作，他们研究的是具有不同形式的数据不确定性的线性规划问题、二次规划问题和半定规划问题等。本文涉及到线性鲁棒优化问题[10～12]。

一般鲁棒优化定义为

线性规划定义为

记A={a1，a2，…，an}，b={b1，b2，…，bn}其中ai为约束矩阵A的第i行，则式（4）可写为

假设a1∈U，a2∈U，an∈U，其中Ui（i=1，…，m）为不确定集合，目标函数中系数C的不确定性可以归纳为约束矩阵的不确定性。则式（5）鲁棒对应：

易知aix≤bi，∀ai∈Ui，i=1，…，m，等价于求解问题。

式（7）问题的复杂性决定鲁棒优化问题的复杂性。

2.2 集合U的确定与计算原则

鲁棒优化问题的关键是不确定集合U的确定以及在某给定U下复杂min-max模型的化简，实际计算的可操作性，本文考虑“盒式”不确定集合，即设参数U的形式为

Soyster针对一般线性规划模型的约束矩阵列的不确定性，设计了一套鲁棒优化方法。首先，对于任意一个不确的数据元素，设计基于数据元素的标称值的一个可能的有界对称区间，通过引入随机变量消除标称值，使得数据元素变成完全不确定的，然后，在原来的线性规划模型的基础上，对每个不确定数据元素引入决策变量，在标准形式的约束方程的左端添加不确定性数据的最大值与引入变量的乘积。这样，原问题的鲁棒对应仍然是线性规划问题，但消除了数据元素的不确定性[3]。这样，就可以用一般的方法来解决本文的问题。

3 模型的建立

基于以上描述，假定电网中有NG台发电机为PGi，i=1，2，…，NG是发电机的节点，在本文的优化问题当中PGi为决定变量，对于每台发电机而言，发电机的燃料成本是二次函数，故结合所描述的“不确定损耗成本”建立以降低发电成本为目标的函数，即

式中：ξi（i=1，2，…，NG）为不确定的变量，表示成向量为ξ=[ξ1，ξ2，…，ξNG]T；PGi为第i台发电机出力。

在电力系统中还有一些约束，如发电机运行约束、功率平衡约束、线路容量约束等，其限制约束方程∏为

以上的限制都是线性与非线性的集合，因此目标函数是不确定性的最小优化问题，即

结合式（8）、式（11）又可以进一步等效为

式中，向量PG=[PG1，PG2，…，PGNG]T。

先关注里层优化：

求导后得

又

根据强对偶定理有

本文主要探讨不确定性因素对发电机出力的影响，在式（13），eTλ显然与单元机组对整个成本的优化无影响，故令其为0，综合式（12）、式（13）、式（16）及式（17）可把目标函数式（11）整理成

结合式（4）可得式（12）的约束方程

综上所述，原目标函数式（11）中含有一个不确定变量ξ，通过对不确定变量ξ设置一个如式（8）的“盒式”集合，再依文献[3]的计算原则，通过数学变换，使得原问题变成了一个普通的单层优化问题，可以用常规的非线性方法进行解答。

4 数值仿真

1）仿真系统

为验证本文所建模型和算法的有效性，本节对修改后的IEEE 30节点系统进行数值测试，网络的负荷、发电机的数据、二次成本函数等见文献[4]，单位为￡/h。为了方便起见，有关发电机的数据重新列在表1中。

表1 发电机参数Tab.1 Generator parameters

2）最优解PG的扰动情况

由于环境等不确定性影响相对整个锅炉系统的热能交换来说，不确定性的变化量不大，本文以系数波动在1%的范围内来考虑，文中参数ξ取bi值的1%，即

图1～图6显示出各机组出力随着n的变化而波动，其中，纵坐标表示各机组输出的实际发电量，横坐标表示在不同的n值下，发电机波动的百分数（图中n=1代表波动为0.05%bi）。

图1 随n的变化机组1的出力变化Fig.1 Outputofbus1w ith the change n

图2 随n的变化机组2的出力变化Fig.2 Outputofbus2w ith the change n

图3 随n的变化机组5的出力变化Fig.3 Outputof bus5w ith the change n

图4 随n的变化机组8的出力变化Fig.4 Outputof bus8with the change n

图5 随n的变化机组11的出力变化Fig.5 Outputof bus11w ith the change n

图6 随n的变化机组13的出力变化Fig.6 Outputof bus13w ith the change n

图7 随n的变化发电成本的变化Fig.7 Generating cost with the change n

通过观察和比较各仿真图，易知发电成本函数的不确定性对调度机组的最优出力将有一定的影响，并且随着不确定性值的增大（即n增大），各机组最优出力将需要重新进行调整使得成本函数达到最优值。由图1～图7可以看出，不是所有的机组都随n的增大而改变，有些机组随n的增加先增大机组出力然后又减小，有些机组却先不改变出力而后随n的增加而增加机组出力，其中机组11和13在限制性的条件下保持最小机组出力而不改变，机组的出力随n的改变并没有确定性的规律，但是从图7可以看出，随着n增加到20的时候其发电成本却一直在增长，由此可以看出，通过有效抑制减少锅炉系统相对理想状态下不确定量的变化幅度将会节省成本，提高利润。这就促使发电厂商去对各电厂进行技术改造以提高经济效益，可以从机组蒸汽温度的冷凝，煤质以及更新已经老化的机组等去考虑。

表2给出了采用本文模型所得到的机组最优分配值与最小成本。通过表2可以看出，独立系统运行员（ISO）可以根据系统运行的实际情况（如环境影响、海水温度影响等）合理确定系统扰动指标进行经济调度，在不同的扰动指标下得出的经济调度值可以作为ESD问题的最优解与次优解，这种调度方式显示了本文模型优于传统ESD模型最优解的唯一性。对在不考虑扰动的情况下用本文的数据进行最优化的调度计算，其最优值与扰动为0.05%所得出的经济调度最优值非常接近，而扰动值偏大的时候，就有偏差，这可从表1中不同扰动的大小看出。此外，从表1中可看出，扰动越大，发电成本将逐步增加，这就促使人们尽量抑制不确定因素对系统的影响，使扰动值降低可减少成本。系统的不确定性肯定是存在的，这就促使当值调度员选择合理的扰动指标，使系统在最经济的情况下运行。

表2 发电机组最优分配值与最小成本Tab.2 Optimal allocation value and the minimum cost of generation

当前各国大部分经济调度模型都是使用大型线性规划的有功（直流）最优潮流模型，若能在经济调度模型中考虑不确定性因素所带来的“不确定损耗成本”的影响，这样更能在调度的时候对机组出力进行合适的变化，可以提高经济效益。

5 结语

本文利用鲁棒优化的方法来解决机组在运行过程中受到不确定性因素的影响而带来的附加成本，在实际的经济调度和促使发电厂进行技术改造有理论和指导作用，本文模型较传统的经济调度模型有一定的优势，考虑了不确定性因素的影响，可以更好地指导调度员进行经济调度，从而保证更大的利润空间，有一定的应用价值。另外，本文提出的方法还可以用来解决在最优潮流或经济调度中在未知负荷分布的情况下利用已有的数据对负荷不确定性进行计算。需要进一步研究的是需要寻找一种更有效的方法来处理电力系统不确定性的影响，获得更加精确的结果。本文的仿真计算表明该方法的可行性和有效性。

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