函数图像上的点的坐标与函数解析式的对应关系

刘兴玲

北师大版八年级数学（上）第五章“位置的确定”、第六章“一次函数”主要学习了一些函数的基础知识和简单函数，如函数及其表示方法、正比例函数、一次函数，为了利用图像研究函数变量之间的关系，建立了平面直角坐标系，平面直角坐标系建立后，点的坐标（有序实数对）与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的函数关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图像，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”是数学中的一种重要的思想方法。

在“一次函数”的教材教学中，在“函数及其图像”这一节中只是简单地介绍了由函数解析式画函数图像的基本步骤，这也是比较抽象的一节课。学生只能机械地从一般步骤去画出函数图像，但是对于函数图像上点的坐标与该图像所对应的函数解析式之间的关系却难以理解，但這一点正是以后学生学习函数的关键所在，因为学生对函数知识学习能力的体现最根本的表现就在分析解析式、识别函数图像的能力方面。在对函数图像的解图、识图以及利用函数图像解决其他问题中起着至关重要的作用。根据本人对“函数”这一章十多年的教学经验和对学生反应情况的了解，我觉得在“函数图像”这一节的教学过程中穿插这样一节课的教学是非常有必要的，它将对学生学习以后的有关具体函数有很大的帮助，下面我就这一点认识总结如下。

根据函数图像的基本步骤：①列表；②描点；③连线。我们可以对一给定的函数解析式，例如：y=-x+2画出它所对应的图像。

第一步：列表，由于该函数自变量取值范围是全体实数，我们可以列表如下：

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第二步：把每一对自变量的值和相应的函数值作为一对有序数对，在平面直角坐标系中描出相应的点。

第三步：用平滑曲线连结，就可以得到该函数解析式所对应的图像，如下图所示：

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但由于该函数的解析式的自变量取值范围是全体实数，而在列表时又绝不可能把所有x的值和它所对应的y值全部列至表中，这样只能描出部分点。例如，当x=0.1时，y=1.9，由于这一对数不是整数，描点时会造成不便，所以我们在表中没有列出，但它们又确实可以列到表中，因此有序数对（0.1，1.9）完全可以作为描该函数图像时的一个点的坐标，可以肯定尽管没有描出该点，但（0.1，1.9）肯定在函数y=-x+2的图像上，这就是说，只要是满足解析式y=-x+2的一对值，就可以在列表时列出，也就完全可以作为描出该函数图像时的一个点，当然这对数值所确定的点也就肯定在该函数的图像上。例如，点P（0.001，1.999）要用描点的方法观察它是否在函数y=-x+2的图像上基本是不可能的，但由于它的横纵坐标完全满足解析式y=-x+2，所以可以肯定点P就在函数y=-x+2的图像上。

反之，若点Q（a，b）在函数y=-x+2的图像上，那么（a，b）这一对值就肯定能列到表中，因此也肯定满足函数解析式y=-x+2，即x=a时y=b，综合上述分析过程，可以总结下面一条结论：点P（a，b）在函数y=f（x）的图像上？圳P（a，b）满足解析式y=f（x）（所谓满足就是对函数解析式y=f（x）而言：当x=a时，y=b）。

利用上述结论我们解答下列各题：

例1：在函数y=2x-5的图像上的一个点是（ ）。

A（-2，1） B（2，1）

C（-1，2） D（1，2）

解：由于当x=2时，y=-1，选项B的坐标（2，-1）满足该函数解析式，所以（B）中的点在该函数图像上。

例2：在抛物线y=x2-4x-4的一个点是（ ）。

A（4，4） B（3，-1）

C（-2，-8） D（-■，-■）

解：由于当x=■时，y=-■，所以正确答案为（D）。

例3：在函数y=x3-1的图像上的点是（ ）。

A（2，0） B（2，-1）

C（2，7） D（2，-7）

解：由于当x=2时，y=7所以正确答案是C。

以上三题，例1、例2的函数及其图像在此阶段学生并没有学，例3的函数图像根本就不可能学到，但只要学生理解这条结论完全可以解答。

例4：函数y=ax+b的图像经过点A（2，4），B（-3，6），求a，b。

解：由题意可知，点A（2，4），B（-3，6）在函数y=ax+b的图像上，那么这两个点的坐标必满足该解析式即4=2a+b6=3a+b构成二元一次方程组，可解出a，b。

这道例题所反映的解题思路就是在我们这一章用的最为普遍的待定系数法求函数的解析式。

在我们没有系统学习一次函数，二次函数，反比例函数之前，利用上述结论完全可以解答此题，在以后的二次函数，反比例函数中求解析式的题型中，还会大量碰到。

例5：有一函数解析式y=■（k≠0）所描出的图像如图所示，求k。

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解：通过观察该图像发现该不知名的函数图像上有一点P（3，4），那么根据上述结论，P（3，4）的坐标必满足该函数解析式，所以x=3时，y=4，即4=■？圳k=12。

在此题的解答过程中，尽管学生并没有学过反比例函数，也不知道该图像的名称叫双曲线，但利用所总结的结论，完全可以解答。

以上就是我认为在学习了“函数图像”以后和还没有学习具体函数之前应穿插的一节非常重要的内容，通过本节课的学习，可让学生更深层地了解函数图像与函数解析式之间的内在联系，为学习以后的具体函数的图像及由图像研究函数性质扫清了障碍，尤其对通过各函数中的待定方法求函数解析式这一难点，完全可以让学生轻松掌握，对他们以后学习函数的其他性质会产生比较深远的影响，这也是我十多年的教学过程中对此知识的一点粗略的见解，仅供参考。

（责编 赵建荣）