数学处方式教学探究

胡绪+宋晓林

数学处方式教学是基于数学问题的教学，是彰显学生自主性的教学，是遵循教学交往本质的教学。在处方式教学中，教师的教学行为包括设计、诱导、诊断、开方、评价、反思，学生的思维活动包括生疑、探究、明了、内化、迁移，它们形成两个系统交互作用，进而演化出“巧设问题，生疑探究”、“反馈诊断，明晰病因”、“澄清问题，精讲点拨”、“训练内化，建构新知”、“拓展迁移，提升能力”五个基本阶段。

数学思维 诊断 处方式教学 问题教学

在数学教育研究领域，问题教学一直受到众多数学教育家和教育工作者的青睐。围绕问题，数学教学过程得以展开，随着问题解决的过程，学生的数学思维得到锻炼。从理论上我们认识到了问题教学的优势，而在实际教学中，问题则成为学生反复训练和练习的对象，教师对问题的利用和处理呈现单一、机械化的特征。数学问题教学已沦为教师协同学生迅速获得数学答案的过程，其内涵和韵味被功利冲淡了，其理想的教育效果也打了折扣。因此，我们在此针对以问题为核心的数学教学的实然提出处方式教学。

一、数学处方式教学的基本意蕴

1979年，美国学者朱迪斯·阿特（J.A.Arter）和约瑟夫·杰肯（J.R.Jenkins）从学生评价的角度提出了“诊断式教学”（diagnostic teaching）的概念[1]。这对后来的教学研究者有很大的启示，教师的教学行为就好比是医生为病人进行的临床诊断，它也遵行先“诊断”后“开处方”的“医治”原则。在以问题为核心的数学教学中，对学生的学习进行诊断，然后对症下药，医治学生在学习中所表现出的问题，进而帮助学生的内部知识结构“恢复”平衡，让学生获得新的知识、体验和成就，应成为数学教育者的共同追求。这种理念下的数学教学，我们称之为数学处方式教学，其意蕴主要表现在以下三个方面。

1.数学处方式教学是基于数学问题的教学

围绕数学问题展开教学过程，已得到数学教育界的公认。诸如乔治·波利亚这样的数学家和数学教育家就很重视数学问题在数学和数学教育中的重要作用，不仅如此，他还以自己的研究和体会对怎样解题进行了全面的剖析和阐述[2]。上世纪后期，国际数学教育界也将数学教育和教学的中心转移到数学问题教学上[3]。可见，以数学问题为核心是数学教育的必然发展。在我国当前的数学教育领域，怎样利用数学问题更是成为了数学教育必须慎重、认真研究的课题。《数学课程标准》已明确提出基础教育阶段的数学教育要培养学生“基本的数学思维”[4]，而其关键的途径就是有效利用数学问题，因为围绕数学问题开展的教学集中体现了发现、探究等教学方法和分析、综合等思维方式。

数学问题重要而复杂，学生在学习过程中表现出来的数学问题更是千奇百怪、无所不有。而处方式教学首先引导学生尽量地暴露问题，然后根据他们表现出的真实问题展开教学，对问题进行点拨、归纳、总结、升华。整个教学起始于问题的显露，延续于问题的解决，结束于对问题深层次的认识乃至迁移。数学处方式教学是围绕问题层层递进的教学，是基于数学问题的教学。

2.数学处方式教学是彰显学生自主性的教学

处方式教学的思想来源于医生救治病人的思路，但是它又有自己独特的地方。医生医治病人时，病人已经是“问题缠身”了，而教师开始教学时，学生并未在未来要学习的知识和方法上表现出任何问题。因此，不同于医生治病，教师需要让学生暴露出自己的问题，进而开展教学。而对于学生会出现什么样的问题，教师最多就是预测，要做到真实地掌握还必须让学生自己主动暴露出来。所以，为了作出准确地诊断，教师要有让学生犯错的胆量，放手让学生自己先去探索新知，在自己的努力中犯错。在这个“犯错”的过程中，学生享有最大的自主权，教师只需要提供学习的材料和任务，作简单、明确的要求，剩下的事情就让学生自己去完成。此外，在整个处方式教学过程中，教师要及时、准确地接收、分析从学生那里反馈回来的信息，这就要求保证这些信息的真实和原始性，而学生真实的问题一定是学生自己主动暴露出来的，教师预设的问题不能达到进行有效教学的目的。所以，数学处方式教学彰显了学生学习的主体性和自主性。

3.数学处方式教学是彰显教学交往本质的教学

对于教学的本质，有研究者用“认识”[5]加以解释，有研究者以“发展”来阐述，有研究者以“交往”[6]概之……从教学实践观来看，在众多的教学本质观中，教学“交往观”应该是最贴近真实的教学实践的。因此，在开展处方式教学研究中，也遵循教学交往本质观来建构教学理论和实践模式。具体而言，在处方式教学中，教师和学生是两个相对独立但彼此联系的系统，两者彼此发出信息和接受反馈，推进教学过程的展开。教师以“医生”的角色，通过“诱导”、“诊断”、“开方”等行为，对学生的整个学习进程进行诊断；学生则扮演了“病人”的角色，在教师的引导下暴露出在将要学习的知识结构方面的缺陷。在这个过程中，教师和学生时时刻刻处在行为和思维的交往中。因此，处方式教学过程是学生在教师的指导下通过交往逐渐走向成熟、新旧知识结构逐渐恢复平衡的过程。

二、数学处方式教学的基本系统

基于数学处方式教学的基本意蕴，着眼于将处方式教学的理念切实运用到真实的教学实践，我们进一步探讨数学处方式教学的两大基本交互系统：教师的行为系统和学生的思维系统。

1.教师的行为系统

数学处方式教学中，教师的角色举足轻重，他们是教学活动设计、开展、评价的主导者，是教学进程开展的指挥者，是教学过程出现突发事件的应变者。在整个处方式教学过程中，教师以自己的行为调整着教学进程，在不同阶段的行为总和构成了教师的行为系统。具体而言，教师的行为包括：设计，诱导，诊断，开方，评价，反思。

处方式教学始于教师对学生新旧知识联结的研究，在这个阶段，教师要对教学的目标、内容、方法、组织形式、评价等做全面的考量。因为处方式教学需要学生能够完全、真实地暴露出自己的问题，让教师“对症下药”，所以，开发科学有效的诊断工具就显得至关重要。设计以及诊断工具准备妥当之后，教师就要领着学生开始围绕着数学问题实施后面的教学行为。第一，教师在相信学生学习能力，让学生自主思维的前提下利用诊断工具诱导学生出现错误，并使用适当的工具和方法检测学生的学习效果。第二，教师对诊断工具反馈回来的信息进行分析，查找学生在学习中的薄弱地方，包括知识方面、行为方面、习惯方面、态度方面等的弱势。诊断是处方式教学的核心环节，它关系着教师能否准确发现学生的问题，能否针对问题开出良方。因此，教师需要结合多种方式来对学生反映出的问题进行诊断。比如，和学生直接交流、考量相关知识的联系等。第三，作为医生的教师要“对症下药”。如果学生是因为新旧知识联结不当，那么教师就要帮助学生澄清新旧知识的关系；如果学生是因为学习方法不当导致的问题，那么教师就需要对学生着重进行学法指导。开方环节也体现了因材施教的教学原则，不同学生的不同问题需得到不同的诊断和处方。第四，在开方之后，教师接下来的工作就是对前面整个行为活动进行有效的评价，直接的关注点是学生对所学知识的掌握和数学思维的训练程度，因为这是最容易通过检测的方式获得的。第五，教师结合可量化的测验结果深入分析自己在前面几个行为中的得失，并探究如何在下一个教学循环中改进提升。在完成上述五个环节的行为后，教师需对整个行为系统进行反思。及时有效地反思能保证教师在接下来的处方式教学实践中提高教学的有效性。

2.学生的思维系统

数学处方式教学的根本旨趣是通过数学知识培养学生的基本数学技能，训练学生基本的数学思维。因此，与教师的行为系统相对应，作为有学习主体性的学生在处方式教学中也有自己以思维活动为核心的思维系统。具体而言，学生的思维活动包括：生疑，探究，明了，内化，迁移。

数学处方式教学基于数学问题，以培养学生基本数学思维为核心。在教师的行为系统中，教学设计与诱导的目的是激起学生学习的兴趣，促使学生对新知识进行积极的思考，当这些行为作用到学生时，学生必然会对新接触的事物和知识产生疑惑，这也是教师希望看到的结果。学生的疑惑说明学生在思考问题，在利用自己的旧知尝试理解新知和解决新问题，这也表明学生在积极地探究新知。可见，生疑与探究是两个密不可分的活动，学生产生并带着疑问进行探究，又在探究中寻求让自己明了的答案。就学生的学习而言，教师不能也不应奢望他们能在自己的指导下解决一切问题而不犯错。学生生疑和探究的结果，是教师诊断和开方的依据和着力点。在数学处方式教学中，学生会从教师对自己的诊断结果中得到相应的帮助，比如学法指导、知识澄清等，在教师这些行为的作用下，学生自己的知识体系得到完善、思维能力得到提升，进而表现出对知识的理解和明了。“学而时习之”，这告诉我们“明了”还需得到进一步的强化。所以，教师还需开出新方子让学生的知识结构、思维能力得到进一步的稳固和提升，进而将新思维和新知识内化为学生自己思维和认知结构的一部分。出于培养学生基本数学思维的目的，学生的思维活动还不止于此。学生还需展示所掌握的数学知识、技能和思维在新情境中的迁移和运用能力，这是学生数学学习的拓展和后继学习的铺垫。

作为完整处方式教学的核心，教师的行为系统和学生的思维系统是并行不悖、相依相存的两个交互系统。教师以自己的行为指导学生自主学习、暴露问题，学生又以主体的身份向教师反馈信息，为教师诊断开方提供信息。这种彼此照应的交互作用让处方式教学时时刻刻表现出“诊断——开处方”的特征（如图1）。

图1数学处方式教学的交互系统

三、数学处方式教学的基本过程

数学处方式教学过程是数学处方式教学的核心范畴之一，其主要源于教师行为系统和学生思维系统的交互作用，主要包括以下五个阶段及相互作用。

1.巧设问题，生疑探究

数学处方式教学是基于数学问题的教学，也是利用问题让学生暴露自己的知识、思维等缺点的教学。因此，教学真正起始于教师所设计的诊断问题。在课堂教学开始之时，教师利用设计的问题组织、指导学生学习相关的教学内容，并适时地探索、完成教师安排的相应任务，其主要任务是组织和指导学生自学探究，让学生掌握基本的学习方法。数学处方式教学相信良好的教学效果源于学生端正的学习态度、良好的学习习惯、正确的学习方法。因此，在这个阶段教师首先是让学生明确学习目标，在学习过程中尝试使用并掌握基本的数学思维方式。与教师的目的和行为相对应，学生的主要活动是自学教学内容，并基于问题进行探究以求解惑。学生在自学的基础上，需要就自己的所学和教师、同伴展开交流，但教师并不就此帮助学生完全解决问题，而是放手让他们继续思考、探究，以求在思维上有所突破。因此，教师的设计诱导和学生的生疑探究共同组成了数学处方式教学的第一个阶段。

2.反馈诊断，明晰病因

准确地诊断学生的学情，是处方式教学的核心。在本阶段，教师根据两个层面对学生的学习进行诊断。一个层面是学生的自主探究过程。数学处方式教学认为，“学习过程”也是学生的成果之一。学生在过程中的行为反映出态度、习惯、方法使用等，这些既是我们考察的学习结果，因为它们对学生掌握知识有直接的影响，也是我们分析学生暴露问题的依据。诊断考察的第二个层面是学生的学习结果。这主要集中在对学生掌握的知识的诊断上。为了对学生在这两个层面暴露出的问题有清楚的了解，教师需要从多个层面探明学生的病因。比如，哪些问题是学生学习习惯不好、粗心大意造成的，哪些问题是学生思维不到位引起的，哪些是学生基本知识掌握不牢造成的。这样，诊断才能有针对性和准确性，也才能为接下来的问题澄清做好准备。

3.澄清问题，精讲点拨

在这一阶段，教师结合教学重点和难点，澄清学生暴露出的问题，剖析知识要点，分析知识点之间的内在联系，突出分析学生在自学中暴露出的解决问题的思维方式和思维过程上的问题。在这个过程中，教师地点拨要根据学生的学习能力，注意点拨的范围和层次等。教师还要对学生学习过程中的表现进行评价、点拨，以激励为原则鼓励学生养成良好的学习习惯；对学生就现有知识能力水平难以理解和使用的一些知识和方法，教师要予以精讲、补充或拓展。在精讲过程中，教师的语言使用要精炼、规范、简洁、准确。同时，精讲之余要给学生留有思考、消化的空间和时间，让学生能及时反思自己之前的学习过程，从教师的讲解中发现自己的不足以及体会运用智慧的乐趣。在澄清问题，精讲点拨的过程中，教师要遵循及时、适时、适度的原则，以促进学生自主学习、积极探究。

4.训练内化，建构新知

课堂训练是数学教学的关键环节，通过训练才能促成知识的内化。因此，数学处方式教学的训练需要注意三个层面与多种方式结合。三个层面：一是知识和技能层面，包括基本知识或重点知识的识记、理解、运用以及基本的解题技能的训练内化；二是过程与方法层面，包括自主学习方法，数学思维及相应的策略训练等；三是情感态度层面，包括要培养并形成正确的学习态度，体会数学解题思维带来的乐趣等。多种方式是指根据训练目的和内容的差异，灵活采用不同或多种训练方式。比如，可以采用主题讨论的方式让学生理解并掌握某一数学主题涉及的知识、方法等，也可以采用分层训练的方式让不同的学生在学习中都有相应的收获。总之，训练内化的目的是让学生在自主学习的基础上，在教师的点拨下，重新整理思路，将新知纳入自己的认知结构，形成一个新的稳固的知识结构。

5.拓展迁移，提升能力

在训练内化的基础上，处方式教学应进行适当拓展训练。拓展迁移的目的是训练学生的数学思维。因此，训练所用的材料要有利于促进学生开动脑筋进行思考，不只是单纯运用记忆等基本技能。题型的选择应多样化，既要有操作实践等动手探究类题型，还应有思考探究类题型。每类题型的设置应有针对性，难易有梯度，能力要求有综合性等。此外，能力提升的一个重要表征是让学生表述自己的学习体验与收获。这是学生数学能力外显的重要途径，也是学生对自己学习的集中认识和反思。

图2 数学处方式教学过程示意图

需强调的是，数学处方式教学的过程不是这五个阶段的简单推进。在教学实践中，教师需结合具体教学情境，在理解处方式教学两大系统的前提下，灵活取舍或重复使用其中的某些阶段（如图2）。

参考文献

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲译.北京：科学出版社，2006.

[3] 乔连全.基于问题解决的数学教学研究.厦门：厦门大学出版社，2010.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.

[5] 王策三.教学论稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.现代教学论纲要.北京：人民教育出版社，2005.

【责任编辑 郭振玲】

2.学生的思维系统

数学处方式教学的根本旨趣是通过数学知识培养学生的基本数学技能，训练学生基本的数学思维。因此，与教师的行为系统相对应，作为有学习主体性的学生在处方式教学中也有自己以思维活动为核心的思维系统。具体而言，学生的思维活动包括：生疑，探究，明了，内化，迁移。

数学处方式教学基于数学问题，以培养学生基本数学思维为核心。在教师的行为系统中，教学设计与诱导的目的是激起学生学习的兴趣，促使学生对新知识进行积极的思考，当这些行为作用到学生时，学生必然会对新接触的事物和知识产生疑惑，这也是教师希望看到的结果。学生的疑惑说明学生在思考问题，在利用自己的旧知尝试理解新知和解决新问题，这也表明学生在积极地探究新知。可见，生疑与探究是两个密不可分的活动，学生产生并带着疑问进行探究，又在探究中寻求让自己明了的答案。就学生的学习而言，教师不能也不应奢望他们能在自己的指导下解决一切问题而不犯错。学生生疑和探究的结果，是教师诊断和开方的依据和着力点。在数学处方式教学中，学生会从教师对自己的诊断结果中得到相应的帮助，比如学法指导、知识澄清等，在教师这些行为的作用下，学生自己的知识体系得到完善、思维能力得到提升，进而表现出对知识的理解和明了。“学而时习之”，这告诉我们“明了”还需得到进一步的强化。所以，教师还需开出新方子让学生的知识结构、思维能力得到进一步的稳固和提升，进而将新思维和新知识内化为学生自己思维和认知结构的一部分。出于培养学生基本数学思维的目的，学生的思维活动还不止于此。学生还需展示所掌握的数学知识、技能和思维在新情境中的迁移和运用能力，这是学生数学学习的拓展和后继学习的铺垫。

作为完整处方式教学的核心，教师的行为系统和学生的思维系统是并行不悖、相依相存的两个交互系统。教师以自己的行为指导学生自主学习、暴露问题，学生又以主体的身份向教师反馈信息，为教师诊断开方提供信息。这种彼此照应的交互作用让处方式教学时时刻刻表现出“诊断——开处方”的特征（如图1）。

图1数学处方式教学的交互系统

三、数学处方式教学的基本过程

数学处方式教学过程是数学处方式教学的核心范畴之一，其主要源于教师行为系统和学生思维系统的交互作用，主要包括以下五个阶段及相互作用。

1.巧设问题，生疑探究

数学处方式教学是基于数学问题的教学，也是利用问题让学生暴露自己的知识、思维等缺点的教学。因此，教学真正起始于教师所设计的诊断问题。在课堂教学开始之时，教师利用设计的问题组织、指导学生学习相关的教学内容，并适时地探索、完成教师安排的相应任务，其主要任务是组织和指导学生自学探究，让学生掌握基本的学习方法。数学处方式教学相信良好的教学效果源于学生端正的学习态度、良好的学习习惯、正确的学习方法。因此，在这个阶段教师首先是让学生明确学习目标，在学习过程中尝试使用并掌握基本的数学思维方式。与教师的目的和行为相对应，学生的主要活动是自学教学内容，并基于问题进行探究以求解惑。学生在自学的基础上，需要就自己的所学和教师、同伴展开交流，但教师并不就此帮助学生完全解决问题，而是放手让他们继续思考、探究，以求在思维上有所突破。因此，教师的设计诱导和学生的生疑探究共同组成了数学处方式教学的第一个阶段。

2.反馈诊断，明晰病因

准确地诊断学生的学情，是处方式教学的核心。在本阶段，教师根据两个层面对学生的学习进行诊断。一个层面是学生的自主探究过程。数学处方式教学认为，“学习过程”也是学生的成果之一。学生在过程中的行为反映出态度、习惯、方法使用等，这些既是我们考察的学习结果，因为它们对学生掌握知识有直接的影响，也是我们分析学生暴露问题的依据。诊断考察的第二个层面是学生的学习结果。这主要集中在对学生掌握的知识的诊断上。为了对学生在这两个层面暴露出的问题有清楚的了解，教师需要从多个层面探明学生的病因。比如，哪些问题是学生学习习惯不好、粗心大意造成的，哪些问题是学生思维不到位引起的，哪些是学生基本知识掌握不牢造成的。这样，诊断才能有针对性和准确性，也才能为接下来的问题澄清做好准备。

3.澄清问题，精讲点拨

在这一阶段，教师结合教学重点和难点，澄清学生暴露出的问题，剖析知识要点，分析知识点之间的内在联系，突出分析学生在自学中暴露出的解决问题的思维方式和思维过程上的问题。在这个过程中，教师地点拨要根据学生的学习能力，注意点拨的范围和层次等。教师还要对学生学习过程中的表现进行评价、点拨，以激励为原则鼓励学生养成良好的学习习惯；对学生就现有知识能力水平难以理解和使用的一些知识和方法，教师要予以精讲、补充或拓展。在精讲过程中，教师的语言使用要精炼、规范、简洁、准确。同时，精讲之余要给学生留有思考、消化的空间和时间，让学生能及时反思自己之前的学习过程，从教师的讲解中发现自己的不足以及体会运用智慧的乐趣。在澄清问题，精讲点拨的过程中，教师要遵循及时、适时、适度的原则，以促进学生自主学习、积极探究。

4.训练内化，建构新知

课堂训练是数学教学的关键环节，通过训练才能促成知识的内化。因此，数学处方式教学的训练需要注意三个层面与多种方式结合。三个层面：一是知识和技能层面，包括基本知识或重点知识的识记、理解、运用以及基本的解题技能的训练内化；二是过程与方法层面，包括自主学习方法，数学思维及相应的策略训练等；三是情感态度层面，包括要培养并形成正确的学习态度，体会数学解题思维带来的乐趣等。多种方式是指根据训练目的和内容的差异，灵活采用不同或多种训练方式。比如，可以采用主题讨论的方式让学生理解并掌握某一数学主题涉及的知识、方法等，也可以采用分层训练的方式让不同的学生在学习中都有相应的收获。总之，训练内化的目的是让学生在自主学习的基础上，在教师的点拨下，重新整理思路，将新知纳入自己的认知结构，形成一个新的稳固的知识结构。

5.拓展迁移，提升能力

在训练内化的基础上，处方式教学应进行适当拓展训练。拓展迁移的目的是训练学生的数学思维。因此，训练所用的材料要有利于促进学生开动脑筋进行思考，不只是单纯运用记忆等基本技能。题型的选择应多样化，既要有操作实践等动手探究类题型，还应有思考探究类题型。每类题型的设置应有针对性，难易有梯度，能力要求有综合性等。此外，能力提升的一个重要表征是让学生表述自己的学习体验与收获。这是学生数学能力外显的重要途径，也是学生对自己学习的集中认识和反思。

图2 数学处方式教学过程示意图

需强调的是，数学处方式教学的过程不是这五个阶段的简单推进。在教学实践中，教师需结合具体教学情境，在理解处方式教学两大系统的前提下，灵活取舍或重复使用其中的某些阶段（如图2）。

参考文献

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲译.北京：科学出版社，2006.

[3] 乔连全.基于问题解决的数学教学研究.厦门：厦门大学出版社，2010.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.

[5] 王策三.教学论稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.现代教学论纲要.北京：人民教育出版社，2005.

【责任编辑 郭振玲】

2.学生的思维系统

数学处方式教学的根本旨趣是通过数学知识培养学生的基本数学技能，训练学生基本的数学思维。因此，与教师的行为系统相对应，作为有学习主体性的学生在处方式教学中也有自己以思维活动为核心的思维系统。具体而言，学生的思维活动包括：生疑，探究，明了，内化，迁移。

数学处方式教学基于数学问题，以培养学生基本数学思维为核心。在教师的行为系统中，教学设计与诱导的目的是激起学生学习的兴趣，促使学生对新知识进行积极的思考，当这些行为作用到学生时，学生必然会对新接触的事物和知识产生疑惑，这也是教师希望看到的结果。学生的疑惑说明学生在思考问题，在利用自己的旧知尝试理解新知和解决新问题，这也表明学生在积极地探究新知。可见，生疑与探究是两个密不可分的活动，学生产生并带着疑问进行探究，又在探究中寻求让自己明了的答案。就学生的学习而言，教师不能也不应奢望他们能在自己的指导下解决一切问题而不犯错。学生生疑和探究的结果，是教师诊断和开方的依据和着力点。在数学处方式教学中，学生会从教师对自己的诊断结果中得到相应的帮助，比如学法指导、知识澄清等，在教师这些行为的作用下，学生自己的知识体系得到完善、思维能力得到提升，进而表现出对知识的理解和明了。“学而时习之”，这告诉我们“明了”还需得到进一步的强化。所以，教师还需开出新方子让学生的知识结构、思维能力得到进一步的稳固和提升，进而将新思维和新知识内化为学生自己思维和认知结构的一部分。出于培养学生基本数学思维的目的，学生的思维活动还不止于此。学生还需展示所掌握的数学知识、技能和思维在新情境中的迁移和运用能力，这是学生数学学习的拓展和后继学习的铺垫。

作为完整处方式教学的核心，教师的行为系统和学生的思维系统是并行不悖、相依相存的两个交互系统。教师以自己的行为指导学生自主学习、暴露问题，学生又以主体的身份向教师反馈信息，为教师诊断开方提供信息。这种彼此照应的交互作用让处方式教学时时刻刻表现出“诊断——开处方”的特征（如图1）。

图1数学处方式教学的交互系统

三、数学处方式教学的基本过程

数学处方式教学过程是数学处方式教学的核心范畴之一，其主要源于教师行为系统和学生思维系统的交互作用，主要包括以下五个阶段及相互作用。

1.巧设问题，生疑探究

数学处方式教学是基于数学问题的教学，也是利用问题让学生暴露自己的知识、思维等缺点的教学。因此，教学真正起始于教师所设计的诊断问题。在课堂教学开始之时，教师利用设计的问题组织、指导学生学习相关的教学内容，并适时地探索、完成教师安排的相应任务，其主要任务是组织和指导学生自学探究，让学生掌握基本的学习方法。数学处方式教学相信良好的教学效果源于学生端正的学习态度、良好的学习习惯、正确的学习方法。因此，在这个阶段教师首先是让学生明确学习目标，在学习过程中尝试使用并掌握基本的数学思维方式。与教师的目的和行为相对应，学生的主要活动是自学教学内容，并基于问题进行探究以求解惑。学生在自学的基础上，需要就自己的所学和教师、同伴展开交流，但教师并不就此帮助学生完全解决问题，而是放手让他们继续思考、探究，以求在思维上有所突破。因此，教师的设计诱导和学生的生疑探究共同组成了数学处方式教学的第一个阶段。

2.反馈诊断，明晰病因

准确地诊断学生的学情，是处方式教学的核心。在本阶段，教师根据两个层面对学生的学习进行诊断。一个层面是学生的自主探究过程。数学处方式教学认为，“学习过程”也是学生的成果之一。学生在过程中的行为反映出态度、习惯、方法使用等，这些既是我们考察的学习结果，因为它们对学生掌握知识有直接的影响，也是我们分析学生暴露问题的依据。诊断考察的第二个层面是学生的学习结果。这主要集中在对学生掌握的知识的诊断上。为了对学生在这两个层面暴露出的问题有清楚的了解，教师需要从多个层面探明学生的病因。比如，哪些问题是学生学习习惯不好、粗心大意造成的，哪些问题是学生思维不到位引起的，哪些是学生基本知识掌握不牢造成的。这样，诊断才能有针对性和准确性，也才能为接下来的问题澄清做好准备。

3.澄清问题，精讲点拨

在这一阶段，教师结合教学重点和难点，澄清学生暴露出的问题，剖析知识要点，分析知识点之间的内在联系，突出分析学生在自学中暴露出的解决问题的思维方式和思维过程上的问题。在这个过程中，教师地点拨要根据学生的学习能力，注意点拨的范围和层次等。教师还要对学生学习过程中的表现进行评价、点拨，以激励为原则鼓励学生养成良好的学习习惯；对学生就现有知识能力水平难以理解和使用的一些知识和方法，教师要予以精讲、补充或拓展。在精讲过程中，教师的语言使用要精炼、规范、简洁、准确。同时，精讲之余要给学生留有思考、消化的空间和时间，让学生能及时反思自己之前的学习过程，从教师的讲解中发现自己的不足以及体会运用智慧的乐趣。在澄清问题，精讲点拨的过程中，教师要遵循及时、适时、适度的原则，以促进学生自主学习、积极探究。

4.训练内化，建构新知

课堂训练是数学教学的关键环节，通过训练才能促成知识的内化。因此，数学处方式教学的训练需要注意三个层面与多种方式结合。三个层面：一是知识和技能层面，包括基本知识或重点知识的识记、理解、运用以及基本的解题技能的训练内化；二是过程与方法层面，包括自主学习方法，数学思维及相应的策略训练等；三是情感态度层面，包括要培养并形成正确的学习态度，体会数学解题思维带来的乐趣等。多种方式是指根据训练目的和内容的差异，灵活采用不同或多种训练方式。比如，可以采用主题讨论的方式让学生理解并掌握某一数学主题涉及的知识、方法等，也可以采用分层训练的方式让不同的学生在学习中都有相应的收获。总之，训练内化的目的是让学生在自主学习的基础上，在教师的点拨下，重新整理思路，将新知纳入自己的认知结构，形成一个新的稳固的知识结构。

5.拓展迁移，提升能力

在训练内化的基础上，处方式教学应进行适当拓展训练。拓展迁移的目的是训练学生的数学思维。因此，训练所用的材料要有利于促进学生开动脑筋进行思考，不只是单纯运用记忆等基本技能。题型的选择应多样化，既要有操作实践等动手探究类题型，还应有思考探究类题型。每类题型的设置应有针对性，难易有梯度，能力要求有综合性等。此外，能力提升的一个重要表征是让学生表述自己的学习体验与收获。这是学生数学能力外显的重要途径，也是学生对自己学习的集中认识和反思。

图2 数学处方式教学过程示意图

需强调的是，数学处方式教学的过程不是这五个阶段的简单推进。在教学实践中，教师需结合具体教学情境，在理解处方式教学两大系统的前提下，灵活取舍或重复使用其中的某些阶段（如图2）。

参考文献

[1] Arter Judith A，Jenkins Joseph R.Differential diagnosis-prescriptive teaching：A critical appraisal.Review of Educational Research，1979，49（4）.

[2] [美]乔治·波利亚.数学的发现——对解题的理解、研究和讲授.刘景麟，曹之江，邹清莲译.北京：科学出版社，2006.

[3] 乔连全.基于问题解决的数学教学研究.厦门：厦门大学出版社，2010.

[4] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.

[5] 王策三.教学论稿.北京：人民教育出版社，2005.

[6] 李森.现代教学论纲要.北京：人民教育出版社，2005.

【责任编辑 郭振玲】