提高高三数学复习效率的策略

李金兴

高三学生学得辛苦，他们订阅大量复习资料，不知疲倦地听题、读题、解题，但很多考生高考时却“发挥失常”，名落孙山. 究其原因，是这种依靠“题海战术” 的复习方式方法过于落后，不适应现阶段高考“能力立意”的要求. 具体表现为“基础不实、徒劳无功；能力不强、难取高分；不善反思、事倍功半”.为了实现“轻负高质”，笔者根据自己多年教学经历，归纳出“基础要整合、能力靠探究、反思提效率”的复习策略，并在历届高三复习实践中取得了较好成效. 本文介绍这些策略的实施方法，以此抛砖引玉.

一、教会学生整合基础的方法

任何知识都不是片段、孤立存在着的，它既有生活实践为基础，同时也与其他知识相关联，结构化的知识是基础知识存在的主要形态. 所谓整合基础，即通过结构化整理使知识形成整体.

1. 回归课本，重温核心概念的形成、发展和获得过程

回归课本不是简单地再翻看一遍教材，而是以各章节的“核心概念、主干知识”为纽带，以“问题串”的形式，重新梳理数学知识结构、提炼思想方法、提高综合应用能力. 比如围绕椭圆概念，可梳理如下：

（1）椭圆的概念如何表述？平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆；这两个定点叫椭圆的焦点.

（2）为进一步研究椭圆，课本采取什么措施？合理建立坐标系，获得椭圆的标准方程（■+■=1或Ax2+By2=1）.

（3）除了标准方程，椭圆方程还有其他形式吗？

■+■=2a；■=■=e；x=acosθ，y=bsinθ，（θ为参数）也都表示椭圆.

（4）在不同的几何情景中你能使用椭圆概念吗？如人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》第49页A组第7题： 圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP所在的直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？

再如将该教科书第80页A组题3适当改编后得到下例： 圆F1：（x+2）2+y2=36，F2：（x-2）2+y2=1，动圆C内切于定圆F1、又与定圆F2外切，求动圆圆心C的轨迹方程.

又如，用“双球证明”能说明为何平面截圆锥或圆柱侧面也能得到椭圆.

课本对概念的形成、发展过程有很好的设计，重温这一过程比单纯解题训练更符合学生的认知规律，更能加深学生对概念的理解和掌握程度.

2. 纵向联系，寻找贯穿章节内容的知识主线

有时候学生对问题无从下手，但稍加提示便恍然大悟. 究其原因，是解题时缺乏有效的线索. 每个章节的内容都由若干知识主线串成一个整体，这些知识主线能够提供解题线索.

例如针对课题“向量的运算”，笔者设计以下四条知识主线.

主线1：恰当地合成向量或分解向量；

主线2：坐标使向量运算代数化且更具操作性；

主线3：关注向量运算的几何意义、领悟数形结合的思想方法；

主线4：灵活选择坐标法或数量积定义作数量积运算.

并针对性地选择问题串（尽量引用高考题）来帮助学生理解落实. 如：

（1）设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使■+■+■+■=0成立的点M的个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

（2）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC

=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则■+3■的最小值为__________.

（3）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）≤0，则 a+b-c的最大值为（ ）

（A）■-1 （B）1 （C） ■ （D）2

（4）若点O和点F（-2，0）分别是双曲线■-y2=1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则■·■的取值范围为（ ）

（A）[3-2■，+∞） （B）[3-2■，+∞）

（C）[-■，+∞） （D） [■，+∞）

（5）已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，那么■·■的最小值为（ ）

（A）-4+■ （B） -3+■

（C）-4+2■ （D） -3+2■

（6）给定两个长度为1的平面向量■和■，它们的夹角为120°. 如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧 ■上变动. 若■=x■+y■，其中x，y∈R则x+y的最大值是________.

前三题分别对应前三条主线，而第（4）（5）（6）题对应第四条主线. 教师引导学生尽可能寻找既贯穿章节内容、覆盖面又较完整的知识主线，从而有效提高解题应变能力.

3. 研究高考考纲，有的放矢地整合基础

研究考纲是高考复习必要的环节. 教师应以具体生动的示例来诠释考纲，从而引导学生深入领会考纲精神. 例如，考纲要求考生“善于借助长方体模型直观感知、操作确认，乃至论证计算”. 可归纳下列题型具体说明：

（1）借助长方体模型，直观判断空间点、线、面的位置关系. （例子略）

（2）利用长方体三组面对角线分别相等的特性.

例 一个四面体棱长均为■，四点在同一球面上，则球面面积S= .

分析：等同于求边长为1的正方体的外接球面积，所以直径为■，S=3π.

（3）利用长方体共点的三条棱（三个面）两两垂直的特性.

例 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为■，则其外接球的表面积是 .

（4）构造长方体解决三视图问题.

例 某几何体的一条棱长为■，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为■的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）endprint

（A）2■ （B）2■ （C）4 （D）2■

（5）以长（正）方体为载体建立空间直角坐标系来论证、计算.

例 到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）

（A） 直线 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D） 双曲线

基础知识不等于简单知识. 只有将基础打扎实了，才能以不变应万变. 结构化的知识是能力形成的基础，整合后的基础知识具有较强的粘合力、较严密的逻辑性、较丰富的关联度，可以较好地为知识的灵活运用服务. 因此，基础的整合水平直接影响到学生综合运用的能力.

二、培养学生自主探究的意识

高考逐步由知识测量型向能力测量型转变，更加注重考查继续学习的潜能、基础文化素质和创新能力. 近年高考命题，也经历了由“经验型命题方式”向“科研型命题方式”的转化. 高三复习也要由“经验型复习方式”向“科研型复习方式”转化.

能力的内涵非常丰富，知识技能的获得并不等于能力的形成、发展. 南京师范大学的郑君文、张恩华教授归纳了形成和发展数学能力的四条基本途径：（1）注重数学思想方法的学习，（2）重视一般科学思想方法的训练，（3）知识的精练与其应用相结合，（4）发展良好的个性品质. 本文中提到的“能力靠探究”特指：为应对能力立意的数学高考题，切实提高学生解决新颖问题的能力，在高三复习阶段坚持学生自主探究（一般科学思想方法的训练）是一项有效可行的做法.

1. 挖掘探究素材，培养学生自主探究意识

“探究”在高中数学教材中已经成为一种编排结构. 除了教材中的“思考”和“探究”，教师应从书本知识入手，鼓励学生多想、多问. 如“等差数列an前n项和Sn=■”，反之，“若数列an前n项和Sn=■，那么它一定是等差数列吗？”从逆命题角度问一问，便是一道高考题. 又如， 2010年高考数学安徽卷理科第20题“设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0. 证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有■+■+…+■=■”. 这些问题都是依靠逆向思维做探究.

除了逆向提问，深入挖掘问题背景也是探究的有效方式. 如选修2-1 第50页B组：如图2，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点. 请证明直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点L，M，N都在椭圆■+■=1上.

本题的背景是圆锥曲线在矩形中的统一. 问题可推广为：“矩形ABCD中，AB=2a，BC=2b，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，设Pk（k=1，2，…，n-1）是线段OF的n等分点，Qk（k=1，2，…，n-1）是线段CF的n等分点，直线EPk和GQk交于点Mk（k=1，2，…，n-1），求证：点Mk（k=1，2，…，n-1）都在椭圆■+■=1上.” （证明略）

2. 通过变式题组，培养学生的探究能力

张奠宙先生在“建设中国特色的数学教育理论”一文中指出“变式练习是中国数学教育的一个创造”，并强调重复需要变式；张教授还提到“实行有效的尝试教学”也是中国数学教学的一大特征，尝试教学还可延伸为“探究，发现”. 在习题教学中，教师可设计题组让学生变式演练，鼓励学生积极观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探索适当的数学结论或规律，并给出解释或证明，即进行数学探究以发展能力.

例 某种鲜花进价每束2.5元，售价每束5元，若卖不出，则以每束1.6元的价格处理掉. 某节日需求量X（单位：束）的分布列为

若进鲜花500束，求利润Y的均值.

解：E（X）=340，而Y=3.4X-450，所以E（Y）=3.4×340-450=706.

提出新问题（1）：若进鲜花400束，求利润Y的均值.

略解：设销售量S（单位：束），则E（S）=325，而Y=3.4Z-360，所以E（Y）=3.4×325-360=745.

反思：可能出现供不应求的局面，所以重新设置变量S.

提出新问题（2）：因为E（X）=340，店家是否进340束花获利的均值最大？

略解：此时E（Y）=3.4×298-306=707.2，因为707.2<745，所以进340束花获利的均值不是最大.

反思：概率统计所反映的事实与直观判断并不吻合.

提出新问题（3）：进多少束花可使获利的均值最大？

略解：设进n（n≤500）束花，则

E（Y）=2.5n（n≤200），1.82n+136（200

易知n=400时，E（Y）取最大值745.

如何变式编题近年有不少教师都做了深入研究. 通过变式，对知识换个角度加以呈现和组合，有助于发展学生分析问题、转化问题的能力；变式演练更大的作用是在潜移默化中鼓励学生提出新问题，探究新知识，从而切实提高应对高考“能力立意”新题的能力，为获取高分提供了可能. 学生的天生潜质是不可改变的，但具体的能力是可以培养、引导发掘的.

三、提高学生反思的实效

在学习过程中或学习后的反思，往往起到事半功倍的效果，其重要性不言而喻. 那么，反思什么？如何反思呢？波利亚将解题后的反思用系列问题的方式给出，如“你能检验这个结果吗？你能用不同的方式推导这个结果吗？你能应用这个结果吗？你能从已知数据中得出有用的东西吗？你能重新叙述这道题目吗？你知道一道与它有关的题目吗？……” 同样高三复习中，在解题训练后反思一题多解、挖掘习题蕴含的教育功能、反思造成一错再错的根本原因等都是提高反思实效的策略.

1. 反思习题蕴含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示为_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本题通过一题多解展示了“集合元素无序性”这一概念的核心. 如果只采用解法1，是无法领会其中妙处的，也不能充分发挥该题的教育功能.

2. 反思错解的成因，避免一错再错

错误解法如果得不到根本性的纠正，将一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少学生做出如下错误解答“因为x2+■≥2■，当x2=■即x=■时等号成立，所以y=x2+■的最小值为2■”，并且在改变情景后经常犯类似错误. 针对这种现象，教师可以从正反两面引导学生反思错误成因：

（1）从反例来辨别

先仿此做法，举出一例：“对于函数y=x2+1（x>0），因为x>0时，x2+1≥2x，当且仅当x=1时等号成立，所以x=1时ymin=2.” 这个结论显然是错误的. （明确展示这种做法是错误的. ）

（2）分析反例错因

在同一坐标系中比较y=x2+1（x>0）和y=2x的图象，可知“x2+1≥2x”只说明y=x2+1（x>0）的图象始终在y=2x图象的上方，“当且仅当x=1时等号成立”只说明两图象相切于点x=1处，切点并非图象的最低点（如图3），y=2也并非函数y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思错解成因

再借助几何画板在同一坐标系中画出函数y=x2+■和函数y=2■的图象（如图4）. 类似的分析如下：x>0时x2+■≥2■恒成立只说明函数y=x2+■，（x>0）的图象恒在函数y=2■图象的上方；x=■时x2+■=2■只反映了点P（■，2■）恰是函数y=x2+■，（x>0）和函数y=2■图象的切点. 从图中可看出点P（■，2■）并非函数图象的最低点，所以2■并不是最小值.

教师以更高的视角帮助学生进行反思，那么便能提高学生学后反思的实效. 当然，解题教学不是高三复习唯一的方式，因此，除了解题后反思外，学生也应对自身的知识结构、探究策略、合作手段等进行反思.

四、结语

教无定法，教有定律. 让学生跳出“题海”获得更好的发展是教师的教学追求. 有效的教学不仅是帮助学生获得高考高分，数学的教育价值也不限于数学学科. 高三复习是一项教师集体行为， “轻负高质”也要求在提高教学质量的同时减轻教师的工作负担，让教师个人更好地发展. ■endprint

1. 反思习题蕴含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示为_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本题通过一题多解展示了“集合元素无序性”这一概念的核心. 如果只采用解法1，是无法领会其中妙处的，也不能充分发挥该题的教育功能.

2. 反思错解的成因，避免一错再错

错误解法如果得不到根本性的纠正，将一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少学生做出如下错误解答“因为x2+■≥2■，当x2=■即x=■时等号成立，所以y=x2+■的最小值为2■”，并且在改变情景后经常犯类似错误. 针对这种现象，教师可以从正反两面引导学生反思错误成因：

（1）从反例来辨别

先仿此做法，举出一例：“对于函数y=x2+1（x>0），因为x>0时，x2+1≥2x，当且仅当x=1时等号成立，所以x=1时ymin=2.” 这个结论显然是错误的. （明确展示这种做法是错误的. ）

（2）分析反例错因

在同一坐标系中比较y=x2+1（x>0）和y=2x的图象，可知“x2+1≥2x”只说明y=x2+1（x>0）的图象始终在y=2x图象的上方，“当且仅当x=1时等号成立”只说明两图象相切于点x=1处，切点并非图象的最低点（如图3），y=2也并非函数y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思错解成因

再借助几何画板在同一坐标系中画出函数y=x2+■和函数y=2■的图象（如图4）. 类似的分析如下：x>0时x2+■≥2■恒成立只说明函数y=x2+■，（x>0）的图象恒在函数y=2■图象的上方；x=■时x2+■=2■只反映了点P（■，2■）恰是函数y=x2+■，（x>0）和函数y=2■图象的切点. 从图中可看出点P（■，2■）并非函数图象的最低点，所以2■并不是最小值.

教师以更高的视角帮助学生进行反思，那么便能提高学生学后反思的实效. 当然，解题教学不是高三复习唯一的方式，因此，除了解题后反思外，学生也应对自身的知识结构、探究策略、合作手段等进行反思.

四、结语

教无定法，教有定律. 让学生跳出“题海”获得更好的发展是教师的教学追求. 有效的教学不仅是帮助学生获得高考高分，数学的教育价值也不限于数学学科. 高三复习是一项教师集体行为， “轻负高质”也要求在提高教学质量的同时减轻教师的工作负担，让教师个人更好地发展. ■endprint

1. 反思习题蕴含的教育功能

例 集合{1，-3，5，-7，9，-11，…}用描述法可表示为_____________.

解法1：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={■=（-1）k+1·（2k-1），k∈N*}；

解法2：{1，-3，5，-7，9，-11，…}={…，-11，-7，-3，1，5，9，…}={■=4k+1，k∈Z}

分析：本题通过一题多解展示了“集合元素无序性”这一概念的核心. 如果只采用解法1，是无法领会其中妙处的，也不能充分发挥该题的教育功能.

2. 反思错解的成因，避免一错再错

错误解法如果得不到根本性的纠正，将一犯再犯. 例如，“求y=x2+■，（x>0）的最小值. ”不少学生做出如下错误解答“因为x2+■≥2■，当x2=■即x=■时等号成立，所以y=x2+■的最小值为2■”，并且在改变情景后经常犯类似错误. 针对这种现象，教师可以从正反两面引导学生反思错误成因：

（1）从反例来辨别

先仿此做法，举出一例：“对于函数y=x2+1（x>0），因为x>0时，x2+1≥2x，当且仅当x=1时等号成立，所以x=1时ymin=2.” 这个结论显然是错误的. （明确展示这种做法是错误的. ）

（2）分析反例错因

在同一坐标系中比较y=x2+1（x>0）和y=2x的图象，可知“x2+1≥2x”只说明y=x2+1（x>0）的图象始终在y=2x图象的上方，“当且仅当x=1时等号成立”只说明两图象相切于点x=1处，切点并非图象的最低点（如图3），y=2也并非函数y=x2+1（x>0）的最小值.

（3）反思错解成因

再借助几何画板在同一坐标系中画出函数y=x2+■和函数y=2■的图象（如图4）. 类似的分析如下：x>0时x2+■≥2■恒成立只说明函数y=x2+■，（x>0）的图象恒在函数y=2■图象的上方；x=■时x2+■=2■只反映了点P（■，2■）恰是函数y=x2+■，（x>0）和函数y=2■图象的切点. 从图中可看出点P（■，2■）并非函数图象的最低点，所以2■并不是最小值.

教师以更高的视角帮助学生进行反思，那么便能提高学生学后反思的实效. 当然，解题教学不是高三复习唯一的方式，因此，除了解题后反思外，学生也应对自身的知识结构、探究策略、合作手段等进行反思.

四、结语

教无定法，教有定律. 让学生跳出“题海”获得更好的发展是教师的教学追求. 有效的教学不仅是帮助学生获得高考高分，数学的教育价值也不限于数学学科. 高三复习是一项教师集体行为， “轻负高质”也要求在提高教学质量的同时减轻教师的工作负担，让教师个人更好地发展. ■endprint