基于学生理解的“平面直角坐标系”的问题设计

徐勇+胡兴余

《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，学生的数学学习活动是在教师组织、引导下的自我建构、自我生成的过程. 从教学过程来看，教学是师生交往互动的过程，学生原有的知识经验、能力水平、个性特点必然影响着数学活动的展开和推进. 因此，尽可能多地去了解学生，预测学生的学习行为、学习方式和解决问题的策略，乃是科学预设的一个重要前提.

下面就我们对一节公开课中关于浙教版八上6. 2“平面直角坐标系（1）”的问题设计，通过教后反思谈一点肤浅的收获体会.

一、学生已有的数学知识是课堂教学的生长点

对于学生而言，一次完整的课堂学习可以描述为学生从他的认知起点，到课堂学习目标之间的认知发展过程. 学生的认知起点指的是学生从事新内容学习所必须借助的知识储备，学生并非零认知走进课堂. 奥苏伯尔曾经说过：“教育心理学用一句话概括，就是知道儿童已经知道了什么.”这就要求我们在教学设计时，根据学生已有的数学知识为学生选择适当的学习起点.

对于平面直角坐标系的引入，我起先的设计是：利用学生的座位号说明平面内点的位置可以用一对有序数对来表示；回顾以前数学中，什么知识可以用数来表示点的位置（数轴）；数轴的作用是用一个数来表示直线上一个点的位置，那么确定平面内点的位置就需要用几条数轴（两条）？这两条数轴应该如何摆放？从而引入平面直角坐标系的概念.

这样设计虽然认识到了学生的学习起点：平面内确定位置的方法和数轴等，但学生的学习起点与新知识的联系很模糊，要全靠学生的猜测，没有知识之间的必然联系. 因此，学生在课堂提问时产生疑问，为什么要学平面直角坐标系？不是和前面的有序数对法差不多吗？

这提醒了我注意有序数对法与平面直角坐标系之间的区别：前一节课中介绍的有序数对法能表示的点实际上是平面直角坐标系中第一象限内的整点. 主要的突破口就在起始点位置的不同选择上.

改进后的课堂实际教学：

①如图1是衢州市的主要旅游景点示意图，如果规定列号写在前面，行号写在后面，请用有序数对表示龙游石窟和江郎山的位置.

这是上节课学生学习的知识，很快就有很多学生举手发言.

②如果把“衢州”的位置作为起始点，记为（0，0），分别记向北为正，向东为正. 请用有序数对表示龙游石窟和江郎山的位置.

这一个问题是改变了上题的起始点，这就是平面直角坐标系与前一节课有序数对法的不同之处，这样的衔接处理比起初的设计显得更合理，在学生的学习起点与新知识之间架起了知识的“桥梁”. 大部分学生一开始有点措手不及，沉思片刻，有同学回答出了“龙游石窟”的表示方法，但对于“江郎山”的表示有同学回答错了. “江郎山”现在是处在左下方，前节课的学习不曾提到这点. 这就形成了建立在大部分学生学习起点之上的认知冲突，激发了学生的学习兴趣.

③能否有简便直观的方法把“江郎山”准确表示出来？同学们各抒己见，很快形成了统一的方法：把方向建立在起始点上，并标上刻度. 很快，学生就准确地写出了表示“江郎山”的有序数对.

④画上去的这两条直线就是我们以前学过的什么知识？（数轴） 这两条数轴就在这里建立了我们今天所要学习的平面直角坐标系，从而揭示课题.

通过改进教学对如何根据学生已有的数学知识为学生选择适当的学习起点有了进一步的体会.前后两种设计表面上看，虽然都认识到了学生的学习起点，但明显存在是否适当的区别，本质上是对教材编写意图理解与挖掘教材深度的区别. 因此，我们的教学不仅要知道学生已经知道了什么，而且还要预估学生能做什么.

教后有一个进一步改进的设计，把第③问的解答改进为如图2，即把第一个图中的刻度随起始点的移动而移动，“龙游石窟”那就极容易表示，教师追问：那么“江郎山”所对应的刻度是多少？这样就比较自然地在有序数对中引进了负数. 标上起始点左边和下面的刻度就有了两条互相垂直的数轴的雏形.

二、学生已有的学习能力是课堂教学的支撑点

如果教师能把学生真正地当作课堂的主人、学习的主体，就会充分地尊重和利用学生已有的学习能力. 在让他们充分经历知识发生过程的基础上，适时地加以点拨和引导，使已经存在于学生头脑中那些不那么正规的数学观点，得以上升成为科学的结论.

承接前面揭示课题之后，平面直角坐标系的概念呼之欲出. 最初的设计是教师利用课件讲解这些概念，整个过程需要5分钟左右时间，学生一直处于被动听的状态. 教师的单调讲授只重视把思维结果注入学生的大脑，而忽略传授的方法和过程，有部分学生已经开始注意教学以外的事情了.

由于前面已经充分经历了平面直角坐标系形成的过程，以初二的学生已有的学习能力，结合图形能够自己理解平面直角坐标系及包含的相关概念. 因此，再次教学时，教学流程如下：

①什么是平面直角坐标系？平面直角坐标系中又包含着哪些概念？

②请同学们打开书本，限定3分钟时间，看看书上是怎么描述的，看过之后请同学们结合课件上的图形指出每一部分的名称.

数学概念的学习不是靠老师机械讲解、硬性灌输获得的，而是靠学生积极主动的学习来理解记忆. 这就要求我们教师注意运用学生已有的生活经验和原认知结构中的有关知识，使学生对新概念的接受变得十分自然，并产生兴趣和进一步学习的意向，以及学习的信心，这样才能充分发挥学生在教学中的主体作用.

三、学生已有的活动经验是课堂教学的激趣点

活泼多样的游戏、竞赛活动，寓教于乐，使学生在欢快激烈的氛围中，动脑、动手、动口，以趣促思，发展多种能力. 丰富多彩的数学活动能促使学生把全部精力和智慧投入学习之中，唤起学生的内驱力，同时培养学生学习数学的兴趣和积极向上的精神.

在学习了平面直角坐标系及包含的相关概念之后，为了加深学生对平面直角坐标系的理解，我们设计了“沙场点兵”的数学活动：

以某个同学为原点，他所在的行、列为坐标轴，规定正方向后建立平面直角坐标系，把教室当沙场，玩“点兵”游戏.

（1）把同学分成六组：第一象限组、第二象限组、第三象限组、第四象限组、横轴组、纵轴组；

（2）由原点的同学负责点兵，点到组名，这组全体同学起立，应动作整齐，协调统一.

这样设计的主要意图是学生自己的座位号是学生身边的又是非常熟悉的生活经验，实际教学中学生的参与热情很高，既调节了课堂气氛，又巩固了平面直角坐标系的相关概念. 同时，与同学平时的座位号相比，主要的区别在于选择了不同的起始点（原点），每个同学的座位号也就会不同，这与平面直角坐标系概念的引入一脉相承，先前的学习经验为这个数学活动奠定了知识基础.

当然，在学习利用平面直角坐标系由点写坐标和由坐标描点时，还可以把这个数学活动延续：由原点的同学负责点兵，点到坐标，这个同学起立；点到某个同学，这个同学应该报出自己的坐标.

这个延续的活动会有利于巩固由点写坐标和由坐标描点，还可利于学生总结每一象限内点的符号的特征和坐标轴上点的坐标特征，更有利于培养学生学习数学的兴趣.

学生学习数学是学生生活常识的系统化，离不开学生现实的生活经验. 对学生来说数学知识并不是“新知识”，在一定程度上是一种“旧知识”. 在他们的生活中已经有了许多数学知识的体验，课堂上的数学学习是他们生活中的有关数学观点和经验的总结和升华，每一个学生都从他们的现实数学世界出发，与教材内容发生相互作用，建构自己的数学知识. 因此，我们在教学设计时要基于学生理解来设计问题，让学生已有的数学知识作为课堂教学的生长点，让学生已有的学习能力作为课堂教学的支撑点，让学生已有的活动经验作为课堂教学的激趣点，使学生在自然的情境中，满怀激情地动手、动脑，在亲身体验和探索中认识数学、理解数学、解决数学问题.endprint